Как найти площадь ломаной фигуры

Чтобы понять, как найти площадь ломаной фигуры, чаще всего используют формулу Гаусса по координатам вершин: $S = \frac12\left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$, обходя вершины по порядку и складывая произведения по кругу.

На клетчатой бумаге проще применить формулу Пика через число узлов на границе и внутри фигуры. Если ни координат, ни клеток нет, фигуру разбивают диагоналями на треугольники и четырёхугольники простой формы, находят площадь каждой части и складывают результаты в общую сумму.

$S = \frac{1}{2}\left|\sum_{i}(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

Разбор по случаям

Примеры

По координатам. Ломаная фигура в форме буквы Г задана вершинами $(0,0)$, $(4,0)$, $(4,2)$, $(2,2)$, $(2,4)$, $(0,4)$ в порядке обхода против часовой стрелки. По формуле Гаусса сумма произведений даёт $24$, площадь $S=\frac{24}{2}=12$ квадратных единиц. Тот же результат получается, если вычесть из большого квадрата со стороной 4 $4\times4=16$ вырезанный угол $2\times2=4$: $16-4=12$, что полностью подтверждает верность обоих независимых способов расчёта площади.

По клеткам. Фигура на клетчатой бумаге имеет $B=10$ узлов на границе и $I=6$ узлов внутри неё, при этом ни одна сторона не измерена линейкой напрямую.

По формуле Пика площадь $S=\frac{10}{2}+6-1=5+6-1=10$ квадратных клеток, и такой подсчёт одинаково хорошо работает для любой фигуры на сетке, лишь бы все её вершины попадали ровно в узлы клеток.

Частые ошибки

• Обходят вершины в произвольном порядке и забывают взять модуль, получая отрицательную площадь.
• В формуле Пика прибавляют единицу вместо вычитания и завышают итоговую площадь.
• Разбивают фигуру на части и теряют один из кусков при сложении итоговых площадей.

Коротко

Итог: как найти площадь ломаной фигуры — по координатам применить формулу Гаусса, на клетчатой бумаге формулу Пика, а без того и другого разбить фигуру на простые части. Все три способа дают одинаковый результат для одной и той же фигуры.