Как найти площадь неправильного четырёхугольника

Площадь неправильного четырёхугольника находят через разбиение диагональю на два треугольника: площади треугольников по отдельности складывают в общую сумму. Если известны координаты всех вершин, применяют формулу Гаусса — считают полусумму произведений координат по контуру. При известных сторонах без высот используют формулу Герона для каждого из двух треугольников. Как найти площадь неправильного четырёхугольника проще всего, выбирают исходя из того, какие величины даны в условии задачи.

$S = \frac{1}{2} d (h_1 + h_2)$

Разбор по случаям

Примеры

Разбиение диагональю. Четырёхугольник ABCD разбит диагональю AC длиной 10 см на два треугольника. Высота от вершины B до AC равна 4 см, а высота от вершины D до той же диагонали — 3 см.

Площадь каждого треугольника считаем отдельно и складываем: подставим $S = \frac{1}{2}\times 10\times(4+3) = 35$.

Площадь четырёхугольника равна $35\text{ см}^2$. Так быстрее, чем находить площадь каждого треугольника по отдельности через $S=\frac12 \cdot a \cdot h$ и потом складывать результаты.

Координаты вершин. Вершины четырёхугольника заданы координатами: A(0; 0), B(4; 0), C(5; 3), D(1; 4).

Площадь через координаты находят по формуле Гаусса: подставим $S=\frac12\left|0\cdot0-4\cdot0+4\cdot3-5\cdot0+5\cdot4-1\cdot3+1\cdot0-0\cdot4\right|$.

Внутри модуля получаем $0+12+17+0=29$, значит $S=\frac{29}{2}=14{,}5\text{ см}^2$.

Такой способ удобен для любой формы, если вершины перечислены по контуру одну за другой и фигура начерчена в клетчатой системе координат.

Частые ошибки

• Многие путают формулу площади прямоугольника с площадью произвольного четырёхугольника и просто перемножают смежные стороны.
• Забывают, что диагональ должна лежать внутри фигуры, иначе разбиение на два треугольника даёт неверный результат.
• При работе с координатами вершины перечисляют не по порядку обхода контура, из-за чего формула Гаусса даёт неверный знак или число.

Коротко

Как найти площадь неправильного четырёхугольника, зависит от исходных данных: диагональ с высотами, все стороны или координаты вершин задают разные способы решения. Проще всего разбить фигуру диагональю на два треугольника и сложить их площади.