Как найти объём, зная площадь

Как найти объём, зная площадь основания или одной грани тела: значение площади умножают на высоту или третье измерение фигуры — так получают объём призмы, цилиндра или прямоугольного параллелепипеда. Для пирамиды и конуса результат умножения дополнительно делят на три, потому что их объём равен трети произведения площади основания на высоту, а не полному произведению, как у прямых тел с постоянным сечением.

$V = S \cdot h$

Разбор по случаям

Примеры

Площадь основания и высота. Площадь основания прямой призмы равна $S = 18$ см², высота призмы равна $h = 5$ см.

Так как сечение призмы одинаковое по всей высоте, а боковые рёбра перпендикулярны основанию, объём находят простым умножением площади основания на высоту: $V = S \cdot h = 18 \cdot 5 = 90$ см³.

Такой же способ подходит и для цилиндра с той же площадью основания и высотой.

Площадь поверхности куба. Площадь полной поверхности куба равна $S = 54$ см². У куба шесть одинаковых квадратных граней, поэтому площадь одной грани равна $\dfrac{54}{6} = 9$ см², а сторона этой квадратной грани и есть искомое ребро самого куба: $a = \sqrt{9} = 3$ см. Объём куба равен кубу его ребра: $V = a^3 = 3^3 = 27$ см³, что легко проверить обратным умножением трёх одинаковых множителей.

Частые ошибки

• Забывают разделить произведение площади основания на высоту на три при работе с пирамидой или конусом.
• Делят площадь полной поверхности куба на четыре вместо шести и получают неверное значение ребра.
• Путают площадь боковой поверхности с площадью основания и подставляют в формулу не то число.

Коротко

Как найти объём, зная площадь грани или сечения тела, — умножить эту площадь на высоту, длину или недостающее ребро, а для пирамиды и конуса ещё разделить результат на три. Куб с площадью поверхности 54 см² даёт ребро 3 см и объём 27 см³, а призма с основанием 18 см² и высотой 5 см — объём 90 см³.