Как найти площадь описанного четырёхугольника

Чтобы понять, как найти площадь описанного четырёхугольника, радиус вписанной окружности умножают на полупериметр фигуры, то есть на сумму всех сторон, делённую на два. Формула получается из разбиения четырёхугольника на четыре треугольника с общей вершиной в центре окружности, где радиус служит высотой каждого из них. У такой фигуры суммы противоположных сторон равны между собой, это признак того, что окружность можно вписать в четырёхугольник.

$S = r p$

Разбор по случаям

Примеры

Стороны 7, 9, 8, 6 см и радиус 3 см. Четырёхугольник описан вокруг окружности, его стороны по порядку равны 7 см, 9 см, 8 см и 6 см, а радиус вписанной окружности равен 3 см. Сначала проверяем признак описанной фигуры: $7+8=15$ и $9+6=15$, суммы противоположных сторон равны, значит окружность действительно можно вписать.

Полупериметр равен $p = \frac{7+9+8+6}{2} = 15$ см.

Площадь равна $S = 3 \cdot 15 = 45$ см².

Бицентральный четырёхугольник со сторонами 2, 3, 4, 3 см. Четырёхугольник одновременно вписан в одну окружность и описан вокруг другой, его стороны по порядку равны 2 см, 3 см, 4 см и 3 см. Проверяем признак описанной фигуры: $2+4=6$ и $3+3=6$, суммы противоположных сторон совпадают, значит формулу через корень применять можно.

Площадь находим через произведение всех четырёх сторон: $S = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ см².

Частые ошибки

• Применяют формулу произведения сторон под корнем к любому описанному четырёхугольнику, забывая про условие бицентральности.
• Путают радиус вписанной окружности с радиусом окружности, описанной вокруг четырёхугольника.
• Не проверяют равенство сумм противоположных сторон и подставляют числа в формулу без этого условия.

Коротко

Чтобы понять, как найти площадь описанного четырёхугольника, радиус вписанной окружности умножают на полупериметр фигуры. Для бицентральных четырёхугольников, вписанных и описанных одновременно, площадь также находят через корень из произведения всех четырёх сторон.