Как найти площадь параллелограмма, если неизвестна высота

Как найти площадь параллелограмма, если неизвестна высота: использовать длины сторон и угол между ними или обе диагонали и угол между диагоналями. Если известны стороны a и b и угол γ между ними, площадь равна произведению сторон на синус этого угла. Если известны обе диагонали d1 и d2 и угол θ между ними, площадь равна половине произведения диагоналей на синус этого угла. Высота при этом вообще не требуется.

$S = ab\sin\gamma$

Разбор по случаям

Примеры

Диагонали и угол. Параллелограмм имеет диагонали $d_1 = 12\text{ см}$, $d_2 = 10\text{ см}$ и угол между ними $\theta = 40^\circ$.

Синус угла: $\sin 40^\circ \approx 0,643$.

Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot 0,643 \approx 38,6\text{ см}^2$.

Такой способ применяют, когда в условии заданы именно диагонали фигуры и угол между ними, а стороны отдельно вычислять вовсе не требуется, что часто встречается в задачах по координатной геометрии на плоскости, где диагонали удобнее измерять напрямую.

Стороны и угол. Параллелограмм имеет стороны $a = 8\text{ см}$, $b = 5\text{ см}$ и угол между ними $\gamma = 30^\circ$. Синус этого угла равен $\sin 30^\circ = 0,5$.

Площадь: $S = 8 \cdot 5 \cdot 0,5 = 20\text{ см}^2$.

Высота в этом расчёте вообще не понадобилась — синус угла между сторонами сразу заменил её собой, что удобно, когда угол задан в условии, а высоту никто не измерял вовсе, поскольку стороны и угол были известны сразу из чертежа.

Частые ошибки

• Пытаются найти площадь параллелограмма только через стороны без угла между ними, забывая, что нужен ещё синус угла.
• Путают угол между сторонами с углом между диагоналями и подставляют его в чужую формулу.
• Для ромба используют формулу через стороны и угол, но забывают, что через диагонали площадь считается ещё проще.

Коротко

Как найти площадь параллелограмма, если неизвестна высота, показывают две формулы: через стороны и угол между ними или через диагонали и угол между ними. Обе формулы используют синус угла и не требуют построения высоты.