Как найти угол, если известны катеты

Вопрос «Как найти угол, если известны катеты» решается через тангенс: угол по катетам равен арктангенсу отношения противолежащего катета к прилежащему, α = arctan(a/b). Если катеты равны, оба острых угла получаются по 45°, потому что их сумма всегда равна 90°. Второй угол находят вычитанием первого из 90°, не решая заново то же отношение сторон.

$\alpha = \arctan\frac{a}{b}$

Разбор по случаям

Примеры

катеты 5 см и 12 см. Катеты прямоугольного треугольника равны $a = 5\text{ см}$ и $b = 12\text{ см}$.

Угол напротив меньшего катета находим по формуле $\alpha = \arctan\frac{5}{12} \approx \arctan(0{,}4167)$, откуда $\alpha \approx 22{,}62°$.

Второй острый угол получаем вычитанием из прямого: $\beta = 90° - 22{,}62° = 67{,}38°$.

Проверка: $22{,}62° + 67{,}38° = 90°$, сумма острых углов сходится верно.

равные катеты 7 см. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны: $a = b = 7\text{ см}$.

Тангенс каждого острого угла равен единице: $\tan\alpha = \frac{7}{7} = 1$, поэтому $\alpha = \arctan(1) = 45°$.

Оба острых угла треугольника получаются одинаковыми — по $45°$ каждый, так как катеты равны между собой. Проверка: $45° + 45° = 90°$, что подтверждает результат для этого равнобедренного прямоугольного треугольника.

Частые ошибки

• Путают, какой катет противолежащий при поиске угла по катетам, и получают перевёрнутое отношение сторон в формуле тангенса.
• Забывают, что через катеты находят именно острые углы треугольника, а не угол при вершине прямого угла, который всегда равен 90°.
• Округляют значение арктангенса до целых градусов слишком рано, из-за чего сумма двух острых углов перестаёт давать ровно 90°.

Коротко

Угол по катетам находят через арктангенс отношения сторон: так решается вопрос «Как найти угол, если известны катеты». Если катеты равны, оба острых угла составляют 45°, а второй угол при разных катетах получают вычитанием первого из 90°.