Как найти площадь полной поверхности пирамиды

Чтобы получить площадь полной поверхности пирамиды, складывают площадь основания и площадь боковой поверхности: S = S_base + S_lat. У правильной пирамиды боковую поверхность считают через периметр основания и апофему: S_lat = 0,5 · P · l, где l — высота боковой грани, проведённая от вершины пирамиды к стороне основания. У произвольной пирамиды с разными гранями площадь каждой грани находят отдельно как площадь обычного треугольника, а затем суммируют все грани вместе с основанием. Именно так объясняют, как найти площадь полной поверхности пирамиды на уроках стереометрии в старших классах.

$S_{full} = S_{base} + S_{lat}$

Разбор по случаям

Примеры

Правильная четырёхугольная пирамида. Сторона основания $a = 6\text{ см}$, апофема $l = 5\text{ см}$.

Площадь основания: $S_{base} = 6^2 = 36\text{ см}^2$.

Периметр основания: $P = 4 \cdot 6 = 24\text{ см}$.

Площадь боковой поверхности: $S_{lat} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60\text{ см}^2$.

Полная поверхность: $S_{full} = 36 + 60 = 96\text{ см}^2$.

Произвольная пирамида по площадям граней. Площадь основания равна $20\text{ см}^2$, площади четырёх боковых граней равны $15$, $15$, $12$ и $12\text{ см}^2$ соответственно.

Складывают все пять значений вместе: $20 + 15 + 15 + 12 + 12 = 74\text{ см}^2$.

Такой способ подходит, когда грани неодинаковые и общей короткой формулы для боковой поверхности нет.

Частые ошибки

• Считают боковую поверхность через высоту всей пирамиды вместо апофемы боковой грани.
• Забывают прибавить площадь основания и оставляют в ответе только боковую поверхность.
• Берут в формуле S_lat = 0,5·P·l половину не периметра основания, а только одной его стороны.

Коротко

Полная поверхность любой пирамиды равна сумме площади основания и площади всех боковых граней, а для правильной пирамиды боковую часть считают короткой формулой через периметр и апофему. Как найти площадь полной поверхности пирамиды, объясняют этой парой формул и на школьных, и на более сложных фигурах с разными по форме гранями.