Как найти площадь поверхности правильной пирамиды

Чтобы понять, как найти площадь поверхности правильной пирамиды, складывают площадь основания и площадь боковой поверхности: $S = S_{osn} + \frac{1}{2}Pl$, где $P$ — периметр основания, $l$ — апофема боковой грани, то есть высота от вершины пирамиды до середины стороны основания.

Периметр правильного n-угольника считают как $P = na$, где $a$ — сторона основания. Площадь основания находят отдельно по формуле для конкретного правильного многоугольника.

$S = S_{osn} + \frac{1}{2} P l$

Разбор по случаям

Примеры

Квадратное основание и высота пирамиды. Дана правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания $a = 10$ см, высота $H = 12$ см.

Апофема основания $m = a/2 = 5$ см, апофема грани $l = \sqrt{H^2+m^2} = \sqrt{144+25} = 13$ см.

Периметр $P = 4a = 40$ см, боковая поверхность $S_{bok} = \frac12 \cdot 40 \cdot 13 = 260$ см².

Площадь основания $S_{osn}=a^2=100$ см². Итого $S = 260+100=360$ см².

Треугольное основание и апофема грани. Дана правильная треугольная пирамида: сторона основания $a=4$ см, апофема грани $l=6$ см.

Периметр $P=3a=12$ см, боковая поверхность $S_{bok}=\frac12\cdot12\cdot6=36$ см².

Площадь основания $S_{osn}=\frac{\sqrt3}{4}\cdot16=4\sqrt3\approx6,93$ см².

Итого $S\approx36+6,93=42,93$ см².

Частые ошибки

• Путают полную площадь поверхности с боковой и забывают прибавить к ней площадь основания пирамиды.
• Подставляют в формулу боковой поверхности высоту пирамиды вместо апофемы боковой грани, хотя это разные отрезки.
• Берут периметр основания как у произвольного многоугольника, а не как $P=na$ для правильной фигуры с равными сторонами.

Коротко

Вот как найти площадь поверхности правильной пирамиды: сложить площадь основания и боковую поверхность, вычисленную через периметр и апофему грани. Если апофема грани неизвестна напрямую, её находят по теореме Пифагора через высоту пирамиды и апофему основания, а площадь основания считают отдельно по формуле правильного многоугольника.