Как найти площадь прямоугольника через диагональ

Как найти площадь прямоугольника через диагональ, зависит от того, что известно вместе с ней. Если дана диагональ d и одна сторона a, вторую сторону находят по теореме Пифагора: b = √(d² − a²), а площадь S = a·b. Если известен угол θ между диагоналями, применяют формулу S = (d²/2)·sinθ, потому что обе диагонали прямоугольника равны d. Если известны диагональ и периметр, площадь находят через их разность в квадрате.

$S = \frac{d^2}{2}\sin\theta$

Разбор по случаям

Примеры

По диагонали и стороне. Диагональ прямоугольника $d = 13\text{ см}$, одна сторона $a = 5\text{ см}$.

Вторая сторона: $b = \sqrt{13^2-5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\text{ см}$.

Площадь: $S = 5 \cdot 12 = 60\text{ см}^2$.

Числа образуют классический треугольник 5-12-13, поэтому вычисления без калькулятора получаются точными.

По углу между диагоналями. Диагональ $d = 10\text{ см}$, угол между диагоналями $\theta = 60°$.

Площадь: $S = \frac{10^2}{2}\sin 60° = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}\text{ см}^2 \approx 43{,}3\text{ см}^2$.

Обе диагонали равны, так как это общее свойство прямоугольника, а не только квадрата.

Частые ошибки

• Пытаются найти площадь по одной диагонали без второго условия, хотя задача с одним числом не имеет решения.
• Путают угол между диагональю и стороной с углом между двумя диагоналями и подставляют его не в ту формулу.
• При отношении сторон складывают стороны вместо применения теоремы Пифагора, связывающей их с диагональю.

Коротко

Диагональ прямоугольника всегда работает в паре со стороной, углом или отношением сторон — одной диагонали недостаточно. Эти формулы полностью показывают, как найти площадь прямоугольника через диагональ, при разных условиях задачи.