Как найти площадь параллелограмма через диагонали

Как найти площадь параллелограмма через диагонали — по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\theta$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\theta$ — угол между ними в точке пересечения.

Диагонали перемножают, результат делят пополам и умножают на синус угла. Если угол между диагоналями прямой, как в ромбе, синус равен единице и формула упрощается до половины произведения диагоналей. Такой способ применяют, когда стороны или высота параллелограмма в условии не даны, а известны только диагонали и угол.

Разбор по случаям

Примеры

диагонали и угол 30°. Диагонали параллелограмма равны $d_1 = 8\text{ см}$ и $d_2 = 10\text{ см}$, а угол между ними в точке пересечения составляет $\theta = 30^\circ$, откуда $\sin 30^\circ = 0{,}5$.

Подставляем значения в формулу $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\theta$ и получаем: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot 0{,}5 = 20\text{ см}^2$.

Итоговая площадь параллелограмма составляет 20 квадратных сантиметров. Этот способ особенно удобен, когда высоту параллелограмма измерить или вычислить сложно.

диагонали перпендикулярны. В параллелограмме с перпендикулярными диагоналями $d_1 = 6\text{ см}$ и $d_2 = 8\text{ см}$ угол между ними равен $90^\circ$, а $\sin 90^\circ = 1$.

Формула упрощается: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\text{ см}^2$.

Площадь такого параллелограмма (фактически ромба) равна 24 квадратным сантиметрам. Такой расчёт часто применяют для ромба, поскольку его диагонали всегда пересекаются под прямым углом.

Частые ошибки

• Забывают, что нужен именно синус угла между диагоналями, а не сам угол в градусах, из-за чего результат получается заниженным или завышенным.
• Путают половину произведения диагоналей с половиной произведения сторон и получают неверную площадь, хотя эти величины в общем случае не равны.
• Берут угол между диагональю и стороной вместо угла между самими диагоналями в точке пересечения, что даёт совершенно другое значение синуса.

Коротко

Как найти площадь параллелограмма через диагонали — умножить обе диагонали, взять синус угла между ними и результат разделить пополам: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\theta$. Формула подходит для любого параллелограмма, если известны обе диагонали и угол между ними в точке пересечения.