Как найти площадь треугольника через среднюю линию

Как найти площадь треугольника через среднюю линию: длину средней линии умножают на полную высоту, проведённую к стороне, которой она параллельна. Средняя линия равна половине этой стороны, поэтому формула равносильна обычной площади треугольника. Если известна площадь маленького треугольника, отсечённого средней линией у вершины, площадь всего треугольника в четыре раза больше, поскольку треугольники подобны с коэффициентом одна вторая. Такой способ особенно удобен, когда провести полную высоту к стороне сложно, а до средней линии — легко.

$S = mh$

Разбор по случаям

Примеры

Через высоту к стороне. Средняя линия треугольника $m = 6\text{ см}$, параллельна стороне $a = 12\text{ см}$. Полная высота к этой стороне равна $h = 8\text{ см}$.

Площадь находят по формуле $S = mh$: $S = 6 \cdot 8 = 48\text{ см}^2$.

Тот же результат получается по обычной формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48\text{ см}^2$.

Через отсечённый треугольник. Средняя линия отсекает у вершины маленький треугольник с площадью $S_{малый} = 10\text{ см}^2$.

Он подобен исходному треугольнику с коэффициентом $\frac{1}{2}$, поэтому площади относятся как $1:4$.

Площадь всего треугольника равна $S = 4 \cdot 10 = 40\text{ см}^2$.

Такой способ удобен, если высоту измерить сложно, а площадь части фигуры уже известна. Такое же соотношение площадей 1 к 4 верно и для срединного треугольника, образованного всеми тремя средними линиями.

Частые ошибки

• Путают среднюю линию с высотой и подставляют её вместо высоты в обычную формулу площади треугольника.
• Забывают, что маленький треугольник у вершины подобен исходному с коэффициентом одна вторая, и умножают площадь на два вместо четырёх.
• Считают, что средняя линия равна стороне треугольника, а не её половине, и завышают площадь вдвое.

Коротко

Площадь треугольника через среднюю линию всегда связана с обычной формулой через сторону и высоту, поскольку линия равна половине стороны. Как найти площадь треугольника через среднюю линию, если известна только площадь отсечённого треугольника, показывает свойство подобия с коэффициентом четыре.