Как найти площадь треугольника через высоты

Как найти площадь треугольника через высоты, если стороны треугольника совсем неизвестны, помогает формула, похожая на формулу Герона, но применённая к обратным величинам. Сначала находят величины, обратные высотам: $1/h_a$, $1/h_b$, $1/h_c$. Затем считают их полусумму q и применяют формулу Герона к этим обратным значениям вместо сторон треугольника. Итоговую площадь получают, разделив единицу на учетверённый результат этой формулы Герона.

$\frac{1}{4S} = \sqrt{q(q-\frac{1}{h_a})(q-\frac{1}{h_b})(q-\frac{1}{h_c})}$

Разбор по случаям

Примеры

по трём высотам. Высоты треугольника равны $h_a = 4$ см, $h_b = 3$ см, $h_c = \dfrac{12}{5}$ см. Обратные величины: $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{5}{12}$.

Их полусумма: $q = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{12}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{2}$.

Подставляем в формулу и получаем $\dfrac{1}{4S} = \dfrac{1}{24}$, откуда площадь $S = 6$ см², что соответствует прямоугольному треугольнику со сторонами 3, 4 и 5 см, если проверить обратным ходом.

по стороне и высоте. Известна сторона треугольника $a = 10$ см и высота к ней $h_a = 6$ см.

Площадь находим по обычной формуле произведения основания на высоту: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30$ см².

Этот способ гораздо проще громоздкой формулы через три высоты и применяется, если в условии дана хотя бы одна сторона треугольника вместе с высотой к ней.

Частые ошибки

• Подставляют сами высоты в формулу Герона напрямую, забывая перейти к обратным величинам высот.
• Складывают обратные величины высот без последующего деления полученной суммы пополам при поиске q.
• Путают итоговую формулу через высоты с обычной формулой Герона для трёх сторон треугольника.

Коротко

Как найти площадь треугольника через высоты, если стороны не даны совсем, показывает формула с обратными величинами высот по аналогии с формулой Герона. Если же дана хотя бы одна сторона вместе с высотой, проще использовать обычную формулу произведения основания на высоту.