Как найти площадь прямоугольного треугольника через высоту

Как найти площадь прямоугольного треугольника через высоту — умножить гипотенузу на высоту, проведённую к ней из прямого угла, и результат разделить пополам: $S = \frac{1}{2} c h$. Если вместо гипотенузы известны оба катета, один катет сам служит высотой по отношению к другому, поэтому площадь считают как $S = \frac{1}{2} a b$. Высота также делит гипотенузу на два отрезка $m$ и $n$, связанных равенством $h^2 = mn$ — это свойство геометрического среднего. Зная оба отрезка, гипотенузу находят как их сумму $c = m + n$.

Разбор по случаям

Примеры

Гипотенуза и высота к ней. Гипотенуза треугольника равна $c = 15$ см, высота, проведённая к ней из прямого угла, равна $h = 7,2$ см.

Площадь считают по формуле $S = \frac{1}{2} c h = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 7,2 = 54$ см².

Такую же площадь дают катеты $a = 9$ см и $b = 12$ см: $S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ см² — это тот же самый треугольник, только формула через катеты проще и не требует вычисления высоты заранее.

Отрезки гипотенузы. Высота делит гипотенузу на отрезки $m = 4$ см и $n = 9$ см.

По свойству геометрического среднего высота равна $h = \sqrt{mn} = \sqrt{36} = 6$ см, а сама гипотенуза равна их сумме $c = 4 + 9 = 13$ см.

Площадь находят по формуле $S = \frac{1}{2} c h = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39$ см².

Такой способ применяют, когда в условии заданы именно отрезки гипотенузы, а не сама высота или катеты.

Частые ошибки

• Высоту к гипотенузе путают с катетом и подставляют в формулу площади катетов вместо гипотенузы и высоты.
• В формуле $h^2 = mn$ отрезки гипотенузы складывают вместо перемножения, получая неверную высоту.
• Забывают, что один катет прямоугольного треугольника сам служит высотой относительно другого катета.

Коротко

Как найти площадь прямоугольного треугольника через высоту — умножить гипотенузу на высоту к ней и разделить пополам по формуле $S = \frac{1}{2} c h$. Тот же результат получают через катеты или через отрезки, на которые высота делит гипотенузу.