Как найти площадь равнобедренного треугольника через синус

Чтобы понять, как найти площадь равнобедренного треугольника через синус, берут равную сторону $a$ и угол $\gamma$ между двумя равными сторонами при вершине: $S=\frac{1}{2}a^2\sin\gamma$.

Основание в формулу не входит вовсе, работают только боковая сторона и вершинный угол. Если известен угол при основании, вершинный угол находят как $180^\circ$ минус удвоенный угол при основании, а если дано только основание — синус половины вершинного угла находят через прямоугольный треугольник.

$S = \frac{1}{2}a^2\sin\gamma$

Разбор по случаям

Примеры

Угол находят через основание. Равные стороны $a=13$ см, основание $c=10$ см. Высота к основанию делит его пополам и образует прямоугольный треугольник со сторонами $5$, $12$ и $13$ см.

Тогда $\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{5}{13}$, $\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{12}{13}$, а $\sin\gamma=2\cdot\frac{5}{13}\cdot\frac{12}{13}=\frac{120}{169}$.

Площадь $S=\frac{1}{2}\cdot169\cdot\frac{120}{169}=60$ см².

Угол при вершине дан напрямую. Равные стороны треугольника $a=10$ см образуют при вершине угол $\gamma=150^\circ$. Синус угла $\sin150^\circ=0{,}5$.

Площадь $S=\frac{1}{2}\cdot10^2\cdot0{,}5=25$ см², считать высоту отдельно совсем не требуется.

Частые ошибки

• Подставляют в формулу угол при основании вместо угла при вершине между равными сторонами.
• Путают синус половинного угла с синусом целого угла и подставляют его в формулу без удвоения.
• Считают площадь как для равностороннего треугольника, хотя равны только две боковые стороны, а не все три.

Коротко

Итог: как найти площадь равнобедренного треугольника через синус — взять квадрат равной боковой стороны, умножить его на синус угла между равными сторонами и разделить пополам. Если дан угол при основании, вершинный угол находят через сумму углов всего треугольника.