Как найти площадь прямоугольного треугольника, зная катеты

Чтобы понять, как найти площадь прямоугольного треугольника, зная катеты, вспоминают, что катеты перпендикулярны друг другу и один из них служит высотой к другому. Площадь равна половине их произведения: S = ½ · a · b. Если известен только один катет и гипотенуза, второй катет находят по теореме Пифагора: a = √(c² − b²), а затем подставляют оба значения в основную формулу. Если задан катет и острый угол, второй катет получают через тангенс этого угла, а после подстановки остаётся лишь перемножить два известных отрезка и разделить результат пополам.

$S = \frac{1}{2} a b$

Разбор по случаям

Примеры

Оба катета известны. Катеты прямоугольного треугольника равны $a = 6\text{ см}$ и $b = 8\text{ см}$.

Площадь: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \dfrac{48}{2} = 24\text{ см}^2$.

Гипотенуза при этом составила бы $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ см, но для расчёта площади через катеты она вообще не понадобилась, поскольку прямой угол уже задаёт нужную высоту.

Катет и гипотенуза. Известен катет $a = 5\text{ см}$ и гипотенуза $c = 13\text{ см}$.

Второй катет: $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ см}$.

Площадь: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\text{ см}^2$.

Проверка через теорему Пифагора подтверждает, что все три стороны треугольника согласованы между собой.

Частые ошибки

• Умножают катет на гипотенузу вместо второго катета, забывая, что в формулу площади входят именно два катета.
• Не делят произведение катетов пополам и получают удвоенную площадь треугольника.
• При поиске катета через теорему Пифагора вычитают квадраты сторон в неправильном порядке.

Коротко

Площадь прямоугольного треугольника всегда равна половине произведения катетов, а если известен только один катет, второй находят через гипотенузу или угол. Такой порядок действий и отвечает на вопрос, как найти площадь прямоугольного треугольника, зная катеты, в любой задаче.