Как найти площадь сегмента

Чтобы понять, как найти площадь сегмента, из площади сектора вычитают площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой: $S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360} - \frac12 r^2 \sin\alpha$, где $\alpha$ — центральный угол в градусах.

Если угол дан в радианах, используют вид $S = \frac12 r^2(\alpha - \sin\alpha)$.

При угле $180^\circ$ сегмент превращается в половину круга, а площадь треугольника обращается в ноль. Если известна хорда или высота сегмента вместо угла, угол сначала находят через них, а затем подставляют в ту же формулу.

$S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2} r^2 \sin\alpha$

Разбор по случаям

Примеры

Угол 90 градусов. Радиус $r=6$ см, центральный угол $\alpha=90^\circ$.

Площадь сектора $S_{sect}=\frac{\pi\cdot36\cdot90}{360}=9\pi$ см².

Площадь треугольника $S_{tr}=\frac12\cdot36\cdot\sin90^\circ=18$ см².

Искомая площадь $S=9\pi-18\approx28{,}27-18=10{,}27$ см², то есть примерно треть площади всего сектора.

Угол 120 градусов. Радиус $r=10$ см, центральный угол $\alpha=120^\circ$.

Площадь сектора $S_{sect}=\frac{\pi\cdot100\cdot120}{360}=\frac{100\pi}{3}\approx104{,}72$ см².

Площадь треугольника $S_{tr}=\frac12\cdot100\cdot\sin120^\circ=25\sqrt3\approx43{,}30$ см².

Искомая площадь $S\approx104{,}72-43{,}30=61{,}42$ см², больше половины площади сектора.

Частые ошибки

• Вычитают из площади сектора площадь всего круга целиком, а не площадь треугольника при центре.
• Используют синус угла, забывая перевести радианы в градусы или наоборот перед подстановкой в общую формулу.
• Путают сегмент с сектором и вовсе не вычитают площадь треугольника из уже найденной площади сектора.

Коротко

Итог: как найти площадь сегмента — вычесть из площади сектора площадь треугольника при центре окружности, используя один и тот же радиус и угол. Формула одинаковая для градусов и радианов, различается только запись центрального угла.