Как найти площадь трапеции через синус

Чтобы понять, как найти площадь трапеции через синус, боковую сторону умножают на синус угла между этой стороной и основанием — так получают высоту $h = c\sin\alpha$, а затем площадь считают по обычной формуле $S = \frac{a+b}{2} h$.

Если вместо сторон известны обе диагонали трапеции d1 и d2 и угол φ между ними, площадь находят по универсальной формуле для любого четырёхугольника $S = \frac12 d_1 d_2 \sin\varphi$, и длины оснований трапеции для этого расчёта вообще не требуются.

$S = \frac{a+b}{2} c \sin\alpha$

Разбор по случаям

Примеры

Сторона и угол. Основания трапеции $a=10$ см и $b=4$ см, боковая сторона $c=6\sqrt2$ см образует с основанием угол $\alpha=45^\circ$.

Высота $h=6\sqrt2\cdot\sin45^\circ=6\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=6$ см.

Площадь $S=\frac{10+4}{2}\cdot6=7\cdot6=42$ см², и тот же ответ даёт формула через среднюю линию $m=7$ см, умноженную на найденную высоту 6 см, без повторного отдельного вычисления суммы оснований трапеции и деления этой суммы пополам ещё раз.

Диагонали и угол. Диагонали трапеции равны $d_1=8$ см и $d_2=10$ см, угол между ними $\varphi=30^\circ$.

Площадь $S=\frac12\cdot8\cdot10\cdot\sin30^\circ=40\cdot0{,}5=20$ см², хотя длины оснований и боковых сторон в условии вообще не даны и совсем не понадобились для решения этой конкретной задачи, где изначально заданы только сами диагонали и угол между ними прямо в точке пересечения.

Частые ошибки

• Используют синус угла между боковой стороной и высотой трапеции вместо угла между стороной и основанием.
• Забывают разделить произведение диагоналей и синуса угла пополам и завышают итоговую площадь ровно вдвое.
• Путают длину боковой стороны с высотой трапеции, не умножая её предварительно на синус нужного угла.

Коротко

Итог: как найти площадь трапеции через синус — умножить сторону на синус угла с основанием и подставить высоту в обычную формулу. Для диагоналей действует своя формула, где основания не нужны.