Как найти площадь трапеции, зная площадь треугольника

Чтобы понять, как найти площадь трапеции, зная площадь треугольника, проводят одну диагональ: она делит трапецию на треугольник при основании b с площадью $S_1$ и треугольник при основании a с площадью $S_2$, а вся трапеция равна их сумме $S = S_1 + S_2$.

Если вместо этого известны площади двух треугольников у оснований, полученных пересечением обеих диагоналей трапеции, площадь всей фигуры считают по формуле $S = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$, где корни складывают до возведения в квадрат.

$S = (\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2$

Разбор по случаям

Примеры

Через одну диагональ. Трапеция с основаниями $a=10$ см и $b=6$ см имеет высоту $h=4$ см.

Диагональ делит её на треугольник с основанием $b$ и площадью $S_1=\frac12\cdot6\cdot4=12$ см², и треугольник с основанием $a$ и площадью $S_2=\frac12\cdot10\cdot4=20$ см².

Площадь трапеции $S=12+20=32$ см², и это совпадает с обычной формулой $S=\frac{10+6}{2}\cdot4=32$ см². Отношение площадей $S_1:S_2=12:20=3:5$ в точности повторяет отношение оснований $b:a=6:10$, что подтверждает правильность обоих способов.

Через обе диагонали. Диагонали трапеции пересеклись так, что треугольник у меньшего основания имеет площадь $S_1=9$ см², а у большего основания — $S_2=16$ см².

Площадь всей трапеции равна $S=(\sqrt{9}+\sqrt{16})^2=(3+4)^2=49$ см².

Проверка через боковые треугольники подтверждает ответ: каждый из них равен $\sqrt{9\cdot16}=12$ см², а сумма всех четырёх частей $9+16+12+12=49$ см² совпадает с результатом, хотя длины сторон трапеции в условии не даны вовсе.

Частые ошибки

• Складывают площади четырёх треугольников напрямую вместо возведения суммы корней в квадрат.
• Путают отношение площадей треугольников с отношением оснований в квадрате, а не в первой степени.
• Считают боковые треугольники у диагоналей разными по площади, хотя они всегда равны.

Коротко

Итог: как найти площадь трапеции, зная площадь треугольника — сложить площади двух треугольников от одной диагонали либо применить формулу (√S1+√S2)² для треугольников у пересечения диагоналей. Числа в обоих способах связаны так же, как основания трапеции.