Как найти площадь вписанной окружности

Вопрос «Как найти площадь вписанной окружности» решается в два шага: сначала находят радиус через размеры фигуры, в которую вписана окружность, затем подставляют его в формулу площади круга S = πr². В квадрате радиус равен половине стороны, в прямоугольном треугольнике — полусумме катетов без гипотенузы, делённой пополам. Дальше площадь всегда считают одинаково: число π умножают на радиус, возведённый в квадрат.

$S = \pi r^2$

Разбор по случаям

Примеры

окружность вписана в квадрат со стороной 8 см. Квадрат со стороной $a = 8\text{ см}$, окружность вписана в него так, что касается всех четырёх сторон, поэтому радиус равен половине стороны: $r = \frac{8}{2} = 4\text{ см}$.

Площадь окружности: $S = \pi r^2 = 3{,}14 \times 4^2 = 3{,}14 \times 16 = 50{,}24\text{ см}^2$.

Проверка: диаметр $2r = 8\text{ см}$ равен стороне квадрата, значит окружность касается всех сторон верно.

окружность вписана в треугольник 6, 8, 10. Катеты прямоугольного треугольника равны $a = 6\text{ см}$ и $b = 8\text{ см}$, гипотенуза $c = 10\text{ см}$.

Радиус вписанной окружности находим по формуле для прямого угла: $r = \frac{6+8-10}{2} = 2\text{ см}$.

Площадь окружности: $S = \pi r^2 = 3{,}14 \times 4 = 12{,}56\text{ см}^2$.

Проверка: радиус $2\text{ см}$ меньше меньшего катета, значит окружность действительно помещается внутри треугольника.

Частые ошибки

• Путают радиус вписанной окружности с радиусом описанной и применяют не ту формулу для нужной фигуры.
• В квадрате берут за радиус целую сторону вместо её половины и завышают площадь окружности сразу в четыре раза.
• Забывают перевести данный диаметр в радиус перед подстановкой числа в формулу площади круга S = πr².

Коротко

Площадь вписанной окружности всегда находят по одной и той же формуле S = πr², а радиус берут из размеров фигуры, в которую окружность вписана. Так решается вопрос «Как найти площадь вписанной окружности» и для квадрата, и для прямоугольного треугольника, и для произвольного многоугольника.