Как найти угол между плоскостями

Вопрос о том, как найти угол между плоскостями, часто возникает в задачах по стереометрии. Чтобы вычислить угол между двумя плоскостями, определяют величину наименьшего из образованных ими двугранных углов. На практике угол между плоскостями находят с помощью линейного угла, который строят перпендикулярно линии их пересечения, либо методом координат через векторный угол между нормалями. Градусная мера полученного острого или прямого угла всегда лежит в диапазоне от 0° до 90°.

$\cos\varphi = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Разбор по случаям

Примеры

Задание уравнений плоскостей. Найдем угол между двумя плоскостями, используя их координатные уравнения $x + y - z = 0$ и $2x - y + 2z = 0$. Векторы нормалей имеют координаты $\vec{n}_1 = (1, 1, -1)$ и $\vec{n}_2 = (2, -1, 2)$.

Вычислим их скалярное произведение: $1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = -1$.

Найдем длины нормалей: $|\vec{n}_1| = \sqrt{3}$ и $|\vec{n}_2| = 3$.

Косинус равен $\cos\varphi = \frac{|-1|}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$.

Значит, угол равен $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)$.

Геометрический способ в кубе. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдем угол между гранями $ABCD$ и $ABC_1D_1$. Грани пересекаются по прямой $AB$. Отрезок $AD$ перпендикулярен $AB$ и лежит в плоскости $ABCD$, а отрезок $AD_1$ перпендикулярен $AB$ и лежит в плоскости $ABC_1D_1$. Следовательно, линейным углом является угол $DAD_1$. Поскольку грань $ADD_1A_1$ — квадрат, треугольник $DAD_1$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому искомый угол равен $45^\circ$.

Частые ошибки

• Вычисление тупого угла вместо наименьшего из образованных углов из-за отсутствия модуля в формуле косинуса.
• Подстановка координат точек плоскости вместо координат нормального вектора в формулу угла.
• Ошибочное построение линейного угла без соблюдения перпендикулярности к линии пересечения граней.

Коротко

Теперь вы знаете, как найти угол между плоскостями алгебраическим методом координат или через построение линейного угла. Главное — правильно определить векторы нормали или построить перпендикуляры к линии пересечения граней.