Как найти угол между прямыми

Чтобы понять, как найти угол между прямыми, нужно определить их расположение на плоскости или в пространстве. Угол между прямыми всегда лежит в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. На плоскости угол между прямыми можно рассчитать через угловые коэффициенты или скалярное произведение направляющих векторов. В пространстве угол между прямыми находится как угол между их направляющими векторами с помощью формулы косинуса угла через координаты векторов.

$\cos \phi = \frac{|\vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2|}{|\vec{p}_1| \cdot |\vec{p}_2|}$

Разбор по случаям

Примеры

Плоскость и угловые коэффициенты. Даны уравнения прямых на плоскости $y = 2x + 1$ и $y = -3x + 4$. Искомый угловой коэффициент первой прямой равен $k_1 = 2$, а второй прямой $k_2 = -3$.

Подставляем эти значения в формулу тангенса угла: $\tan \phi = \left| \frac{-3 - 2}{1 + 2 \cdot (-3)} \right| = \left| \frac{-5}{-5} \right| = 1$.

Так как тангенс равен единице, искомый угол между прямыми составляет $45^\circ$.

Пространство и векторы. Найдем угол между двумя прямыми в пространстве, заданными направляющими векторами $\vec{p}_1 = (1, 0, 1)$ и $\vec{p}_2 = (0, 1, 1)$.

Сначала считаем скалярное произведение векторов: $1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$.

Затем находим их длины: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$.

Вычисляем косинус: $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Значит, острый угол равен $60^\circ$.

Плоскость и координаты точек. Найдем угол между двумя прямыми, заданными точками $A(1, 1)$, $B(4, 5)$ и $C(2, 3)$, $D(5, 3)$. Вычислим координаты направляющих векторов. Первый вектор имеет координаты $p = (3, 4)$, второй вектор имеет координаты $q = (3, 0)$. Скалярное произведение этих векторов равно $3 \cdot 3 + 4 \cdot 0 = 9$. Модуль первого вектора равен $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, модуль второго вектора равен $\sqrt{3^2 + 0^2} = 3$. Косинус угла равен делению скалярного произведения на произведение модулей: $9 / (5 \cdot 3) = 0.6$.

Значит, острый угол равен $\arccos 0.6 \approx 53.13^\circ$.

Частые ошибки

• Забывают взять модуль в числителе формулы, из-за чего получают тупой угол вместо острого.
• Путают нормальный вектор прямой с её направляющим вектором при расчете угла.
• Подставляют коэффициенты из общих уравнений прямых в формулу для угловых коэффициентов без предварительного приведения.

Коротко

Подробный разбор того, как найти угол между прямыми, показывает важность использования векторов или угловых коэффициентов. Окончательное значение искомого угла всегда выбирается в пределах от нуля до девяноста градусов.