Как найти угол между скрещивающимися прямыми

Чтобы понять, как найти угол между скрещивающимися прямыми, необходимо свести задачу к пересекающимся прямым. Для этого через любую точку пространства проводят прямую, параллельную одной из данных, либо строят параллельные прямые для обеих линий. Искомый угол между скрещивающимися прямыми равен острому или прямому углу между образованными пересекающимися прямыми. На практике угол рассчитывают геометрически из треугольника по теореме косинусов или через координаты векторов.

$\cos \varphi = \frac{|x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2|}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Разбор по случаям

Примеры

Геометрический способ в кубе. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдем угол между прямыми $A_1B$ и $B_1C$. Выполним параллельный перенос: прямая $A_1D$ параллельна $B_1C$. Искомый угол равен углу $BA_1D$. Треугольник $BA_1D$ составлен из диагоналей граней куба равной длины $a\sqrt{2}$. Следовательно, треугольник $BA_1D$ равносторонний, и его угол равен $60^\circ$. Значит, ответ равен $60^\circ$.

Координатный метод в пространстве. Даны векторы $\vec{a}(1; 0; 1)$ и $\vec{b}(0; 1; 1)$, параллельные линиям.

Скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$.

Длины векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ и $|\vec{b}| = \sqrt{2}$.

Вычисляем косинус: $\cos \varphi = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Искомый угол равен $60^\circ$.

Геометрический метод в правильной треугольной призме. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны $2$. Найдем угол между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $BC$. Проведем через точку $B_1$ прямую $B_1C_2$, параллельную $BC$, отложив отрезок $B_1C_2 = 2$. Искомый угол равен углу $AB_1C_2$ в треугольнике $AB_1C_2$.

Из грани $AA_1B_1B$ гипотенуза $AB_1 = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$.

В верхнем основании по теореме косинусов $A_1C_2^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = 12$.

Из прямоугольного треугольника $AA_1C_2$ находим $AC_2 = \sqrt{4 + 12} = 4$.

По теореме косинусов в треугольнике $AB_1C_2$: $16 = 8 + 4 - 8\sqrt{2}\cos\angle AB_1C_2$, откуда $\cos\angle AB_1C_2 = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Искомый острый угол равен $\arccos\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Частые ошибки

• Ошибочно берется тупой угол вместо наименьшего острого угла между пересекающимися линиями.
• Забывают ставить знак модуля для скалярного произведения при вычислении косинуса через координаты.
• Выполняют параллельный перенос в произвольную точку без учета принадлежности к граням многогранника.

Коротко

Подробный разбор показывает, как найти угол между скрещивающимися прямыми с помощью параллельного переноса или направляющих векторов. В результате искомый угол между скрещивающимися прямыми всегда лежит в интервале от нуля до девяноста градусов.