Что такое число е

Число е — это иррациональное и трансцендентное число, приближённо равное 2,71828, которое служит основанием натурального логарифма и определяет скорость непрерывного роста процессов в природе. Его получают как предел выражения (1 плюс 1, делённое на n) в степени n при неограниченном росте n, а также как сумму ряда обратных факториалов. Именно об этом говорят, когда спрашивают, что такое число е.

$e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$

Разбор по случаям

Примеры

Рост популяции бактерий. Популяция бактерий в лабораторной пробирке растёт по закону непрерывного роста $P(t) = P_0 e^{kt}$. При начальном числе $P_0 = 100$ и скорости роста $k = 0{,}1$ за время $t = 10$ часов показатель степени равен $kt = 1$, поэтому итоговое число бактерий составит $P = 100e \approx 271{,}8$. Число е здесь напрямую связывает скорость непрерывного роста с итоговым результатом за конкретное время наблюдения.

Производная показательной функции. Функция $y = e^{x}$ в точке $x = 0$ принимает значение $y(0) = e^{0} = 1$, а её производная в этой же точке тоже равна $1$, поскольку $\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}$ для любого значения аргумента x. Ни для какого другого основания степени, кроме е, значение функции и скорость её изменения не совпадают в каждой точке графика одновременно.

Частые ошибки

• Число е считают равным ровно 2,7 и обрывают запись, хотя дробная часть бесконечна и не имеет периода.
• В ряду обратных факториалов складывают сами числа n вместо дробей, обратных факториалу каждого из этих чисел.
• Производную функции с основанием е ищут по правилу для степенной функции, хотя эта функция равна своей же производной.

Коротко

Что такое число е, показывает одна иррациональная и трансцендентная константа около 2,71828 — предел непрерывного роста и основание натурального логарифма. Показательная функция с этим основанием остаётся единственной среди всех функций, чья производная всюду равна ей самой.