Что такое натуральное число в алгебре

Натуральное число — это целое положительное число, которым пользуются при счёте предметов: $1, 2, 3$ и так далее без конца. Что такое натуральное число в алгебре, определяет прежде всего его роль в построении числовых множеств: расширяя множество $N$ вычитанием, получают целые числа, а делением — рациональные. В алгебре множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения: сумма и произведение двух натуральных чисел всегда снова натуральное число.

$N = \{1, 2, 3, \ldots\}$

Разбор по случаям

Примеры

Замкнутость натуральных чисел при сложении. Возьмём натуральные числа $7$ и $12$. Их сумма $7+12=19$ снова натуральное число, потому что множество $N$ замкнуто относительно сложения: какие бы натуральные слагаемые ни взять, результат не выйдет за пределы этого множества. Это свойство используют в алгебре при доказательстве утверждений методом математической индукции, где важно, что следующий член последовательности снова остаётся натуральным числом.

Незамкнутость натуральных чисел при вычитании. Возьмём натуральные числа $5$ и $9$. Их разность $5-9=-4$ уже не натуральное число, потому что получилось отрицательное значение, а множество $N$ не замкнуто относительно вычитания. В алгебре это учитывают при решении уравнений: если корень уравнения получается отрицательным или дробным, а условие задачи требует именно натурального числа, такой корень отбрасывают как не подходящий по смыслу.

Частые ошибки

• Считают ноль натуральным числом, хотя в школьной алгебре натуральный ряд начинается с единицы.
• Полагают, что разность или частное натуральных чисел всегда натуральны, забывая проверить условие $a>b$ или делимость.
• Путают множество натуральных чисел $N$ с множеством целых чисел $Z$, включая в счёт отрицательные числа.

Коротко

Что такое натуральное число в алгебре, определяет его место в цепочке числовых множеств: натуральные числа — часть целых, целые — часть рациональных, а рациональные — часть действительных чисел. Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения и умножения, но не замкнуто относительно вычитания и деления.