Что такое десятичное число

Десятичное число — это число, записанное с помощью цифр и запятой, где цифры после запятой обозначают десятые, сотые, тысячные доли единицы. Целая часть стоит слева от запятой, а дробная часть справа, и каждый следующий разряд после запятой в десять раз мельче предыдущего. Разобраться, что такое десятичное число, проще всего через разложение по разрядам на конкретном примере записи.

$0{,}d_1d_2d_3\ldots = \frac{d_1}{10} + \frac{d_2}{100} + \frac{d_3}{1000} + \ldots$

Разбор по случаям

Примеры

Конечная десятичная дробь. Дробь $0{,}25$ означает двадцать пять сотых доли единицы, то есть в старшем разряде после запятой стоят десятые, а во втором — сотые. По формуле перевода получаем $0{,}25 = \frac{25}{100}$, а после сокращения на общий делитель дробь принимает окончательный вид $\frac{1}{4}$. Проверить результат легко обратным действием: разделим единицу на четыре столбиком и получим ровно $0{,}25$, значит перевод выполнен верно и без ошибок в разрядах.

Бесконечная периодическая дробь. Разделим единицу на три столбиком и получим бесконечную запись $0{,}333\ldots$ с постоянно повторяющейся цифрой три после запятой без остатка. Обозначим этот результат за $x = 0{,}(3)$, тогда после умножения обеих частей на десять получаем $10x = 3{,}(3)$, а вычитание даёт $10x - x = 3$, то есть $9x = 3$. Отсюда $x = \frac{1}{3}$, и бесконечная периодическая дробь снова превращается в обычную обыкновенную дробь.

Частые ошибки

• Путают порядок разрядов после запятой — десятые, сотые, тысячные — и записывают число с ошибочным значением.
• Считают все бесконечные десятичные дроби периодическими, забывая про иррациональные числа вроде корня из двух.
• Сравнивают десятичные дроби по количеству цифр после запятой, а не по фактическому значению каждого разряда.

Коротко

Десятичное число задаётся целой и дробной частью через запятую, где каждый разряд справа в десять раз мельче предыдущего. Запомнив, что такое десятичное число и как оно связано с обыкновенной дробью, легко переводить записи туда и обратно.