Что такое функция в математике

Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому значению независимой переменной x отвечает ровно одно значение зависимой переменной y. Зависимость можно задать формулой, графиком или таблицей значений. Если одному x соответствует несколько значений y, такое соответствие функцией не является. Именно это правило имеют в виду, когда спрашивают, что такое функция в математике, в школьном курсе алгебры.

$y = f(x)$

Разбор по случаям

Примеры

Линейная функция. Функция $y = x + 1$ каждому значению $x$ ставит в соответствие ровно одно значение $y$: при $x = 0$ получаем $y = 1$, а при $x = 3$ получаем $y = 4$. График — прямая линия, проходящая через точку $(0;\,1)$ с угловым коэффициентом $k = 1$, поэтому функция возрастает на всей области определения и никогда не принимает одно и то же значение y для разных значений x.

Не функция. Зависимость $x = y^2$ функцией не является: значению $x = 4$ соответствуют сразу два числа — $y = 2$ и $y = -2$, а по определению каждому x должно отвечать ровно одно значение y. График такой зависимости — парабола, лежащая на боку, и вертикальная прямая пересекает её в двух точках, а не в одной, как требует правило функции.

Частые ошибки

• Функцией называют любую формулу, не проверяя, что каждому x соответствует только одно значение y.
• Область определения выбирают на глаз, не глядя, при каких x выражение под корнем или в знаменателе вообще существует.
• Возрастание функции путают с положительными значениями y, хотя речь о том, растёт ли y при увеличении x.

Коротко

Функция — это зависимость y от x, при которой каждому значению x соответствует ровно одно значение y, заданное формулой, графиком или таблицей. Понимание того, что такое функция в математике, лежит в основе построения графиков и решения уравнений.