Что такое функция

Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому значению независимой переменной x из области определения отвечает ровно одно значение зависимой переменной y. Зависимость y от x можно задать формулой, графиком или таблицей значений. Если одному x соответствует больше одного y, это уже не функция. Именно такое соответствие имеют в виду, когда спрашивают, что такое функция, в курсе алгебры.

$y = f(x)$

Разбор по случаям

Примеры

Линейная функция. Функция $y = x + 1$ каждому значению $x$ ставит в соответствие ровно одно значение $y$: при $x = 0$ получаем $y = 1$, при $x = 3$ получаем $y = 4$, при $x = 5$ получаем $y = 6$. График — прямая линия, проходящая через точку $(0;\,1)$ с угловым коэффициентом $k = 1$, поэтому функция возрастает на всей числовой прямой без исключений.

Квадратичная функция. Функция $y = x^2$ каждому $x$ ставит в соответствие единственное неотрицательное значение $y$: при $x = 2$ и при $x = -2$ получаем одно и то же значение $y = 4$. График — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх, поэтому такая функция не является взаимно однозначной на всей области определения.

Частые ошибки

• Функцией называют любую формулу, забывая проверить, что каждому x действительно соответствует только одно y.
• Область определения выбирают произвольно, не глядя, при каких x выражение под корнем или дробью вообще существует.
• График параболы принимают за прямую линию, путая линейную и квадратичную функции по внешнему виду коэффициентов.

Коротко

Функция — это зависимость y от x, при которой каждому значению x соответствует ровно одно значение y, причём эту зависимость можно задать формулой, графиком или таблицей. Понимание того, что такое функция, лежит в основе всей школьной алгебры и построения графиков.