Что такое сопряжённое число

Сопряжённое число — это число, которое получают из исходного заменой знака перед мнимой единицей или перед знаком радикала, оставляя остальную часть числа без изменений: для комплексного числа $z = a + bi$ сопряжённым служит $\bar z = a - bi$, а для иррационального выражения $a + \sqrt{b}$ — число $a - \sqrt{b}$. Разбирая, что такое сопряжённое число, важно помнить: меняется только один знак, а не всё число целиком, и такая пара всегда даёт при перемножении действительный результат без мнимой единицы или корня.

Разбор по случаям

Примеры

Деление комплексных чисел. Чтобы вычислить $\frac{5}{3+4i}$, знаменатель освобождают от мнимой единицы: числитель и знаменатель домножают на сопряжённое число $3-4i$.

Получают дробь $\frac{5(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \frac{15-20i}{9+16} = \frac{15-20i}{25}$.

В знаменателе появилось действительное число $25$, потому что при умножении комплексного числа на сопряжённое мнимая единица исчезает и остаётся сумма квадратов действительной и мнимой частей. Итоговый ответ $0{,}6 - 0{,}8i$ уже не содержит дроби с мнимой единицей внизу.

Рационализация дроби с корнем. Чтобы избавиться от корня в знаменателе дроби $\frac{1}{2+\sqrt3}$, её умножают на сопряжённое число $2-\sqrt3$, взятое и в числителе, и в знаменателе.

Получают $\frac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)} = \frac{2-\sqrt3}{4-3} = 2-\sqrt3$.

Знаменатель стал равен $1$, потому что произведение сопряжённых иррациональных чисел $a+\sqrt b$ и $a-\sqrt b$ всегда даёт разность квадратов без корня. Такой приём применяют при упрощении дробей с квадратным корнем в знаменателе.

Частые ошибки

• Сопряжённое число путают с противоположным и меняют знак у всей записи целиком, а не только перед мнимой единицей или корнем.
• Считают, что сумма сопряжённых чисел равна нулю, хотя на самом деле она равна удвоенной действительной части, а не нулю.
• При рационализации дроби домножают на сопряжённое число только числитель, забывая сделать то же со знаменателем, из-за чего значение дроби меняется.

Коротко

Итак, что такое сопряжённое число: это парное число, у которого меняется знак мнимой части или радикала, а произведение с исходным всегда даёт действительное число без мнимой единицы или корня.