Как из параметрического уравнения получить каноническое

Чтобы понять, как из параметрического уравнения получить каноническое, необходимо из каждого уравнения исходной системы выразить переменный параметр $t$. Затем все полученные выражения для параметра приравниваются между собой, поскольку значение параметра $t$ остается единым для всех координат любой точки линии.

В результате образуются равенства отношений вида $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$.

Полученное итоговое соотношение представляет собой каноническое уравнение прямой, где точка $(x_0, y_0, z_0)$ принадлежит этой прямой, а ненулевой вектор $(l, m, n)$ является ее направляющим вектором.

Разбор по случаям

Примеры

Прямая на плоскости. Даны параметрические уравнения $x = 2 + 3t$ и $y = -1 + 4t$. Выразим переменный параметр $t$ из первого уравнения: $t = \frac{x - 2}{3}$. Из второго уравнения аналогично получаем $t = \frac{y + 1}{4}$.

Приравнивая полученные правые части друг к другу, имеем $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4}$.

Это соотношение представляет собой искомое каноническое уравнение прямой на плоскости.

Прямая в пространстве. Задана пространственная система $x = 1 - t$, $y = 5t$, $z = 3 + 2t$. Выражаем параметр $t$ из каждого доступного уравнения: $t = \frac{x - 1}{-1}$, $t = \frac{y}{5}$, $t = \frac{z - 3}{2}$.

Приравнивая между собой все трехмерные выражения для параметра $t$, получаем искомое каноническое уравнение $\frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{5} = \frac{z - 3}{2}$.

Эллипс на плоскости. Рассмотрим метод перевода параметрического задания кривой второго порядка в канонический вид на конкретном примере эллипса. Пусть задана параметрическая система уравнений вида $x = 3 \cos t$ и $y = 4 \sin t$. Для полного исключения параметра $t$ выразим тригонометрические функции через переменные: $\cos t = \frac{x}{3}$, $\sin t = \frac{y}{4}$. Далее применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$.

Подставим найденные значения косинуса и синуса в данное равенство: $\left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = 1$.

Выполнив возведение знаменателей в квадрат, окончательно получаем каноническое уравнение эллипса вида $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Частые ошибки

• Забывают поменять знак координаты точки при переносе из параметрической формы в каноническую.
• Теряют отрицательный знак у коэффициента перед параметром при делении.
• Считают деление на ноль в знаменателе канонического уравнения ошибкой, хотя это символическая запись параллельности оси.

Коротко

Представленный учебный разбор наглядно показывает, как из параметрического уравнения получить каноническое путем изолирования и последующего приравнивания параметра. Описанный метод позволяет быстро переходить к каноническому виду прямой на плоскости и в пространстве.