Формула Стокса

Студенты часто спрашивают, для чего используется формула Стокса в векторном анализе? Данное соотношение связывает циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого пространственного контура с потоком ротора этого поля через ориентированную поверхность, натянутую на данный контур. На практике она позволяет заменить сложный криволинейный интеграл второго рода по замкнутому пространственному контуру на поверхностный интеграл по удобной поверхности, существенно упрощая процесс вычислений.

$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\mathrm{rot} \, \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$

Разбор по случаям

Примеры

Вычисление циркуляции через поток ротора. Вычислим циркуляцию поля $\mathbf{F} = (y, -x, z)$ по контуру $C$, ограничивающему круг $x^2 + y^2 \le 1$ при $z = 0$.

Находим ротор: $\mathrm{rot} \, \mathbf{F} = (0, 0, -2)$.

Вектор нормали $\mathbf{n} = (0, 0, 1)$.

Поток ротора через круг равен $\iint_S (-2) dS = -2 \cdot \pi \cdot 1^2 = -2\pi$.

По формуле Стокса циркуляция равна $-2\pi$.

Переход к поверхностному интегралу. Найдем интеграл по треугольнику с вершинами $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ для поля $\mathbf{F} = (z, x, y)$.

Ротор поля равен $\mathrm{rot} \, \mathbf{F} = (1, 1, 1)$.

Уравнение плоскости $x + y + z = 1$, нормаль $\mathbf{n} = (1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$.

Интеграл равен $\iint_S \sqrt{3} dS = \sqrt{3} \cdot S_{\mathrm{tr}} = 1.5$.

Работа поля вдоль пространственного треугольника. Вычислим циркуляцию векторного поля $\vec{F} = (y, z, x)$ по контуру треугольника с вершинами $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(0,0,1)$. По формуле Стокса перейдем к поверхностному интегралу по плоскости $x + y + z = 1$.

Ротор поля равен $\text{rot} \vec{F} = (-1, -1, -1)$.

Вектор нормали составляет $\vec{n} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$, а элемент поверхности $dS = \sqrt{3} dx dy$.

Скалярное произведение ротора на нормаль равно $-\sqrt{3}$. Интеграл сводится к $-3 \iint_D dx dy$ по треугольной проекции $D$. Площадь $D$ равна $1/2$, поэтому циркуляция равна $-3/2$.

Частые ошибки

• Несогласование направления обхода контура и ориентации вектора нормали по правилу правого винта.
• Использование формулы Стокса для незамкнутого контура без его предварительного замыкания.
• Ошибки при вычислении частных производных компонент ротора векторного поля.

Коротко

Подводя итоги, мы подробно ответили на вопрос, для чего используется формула Стокса в векторном анализе. Эта теорема связывает циркуляцию поля по замкнутому контуру с потоком его ротора через поверхность.