Критерий подпространства

Критерий подпространства утверждает, что непустое подмножество L линейного пространства V является его подпространством тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно линейных операций. Это значит, что для любых векторов x, y в L и любых скаляров alpha, beta их линейная комбинация alpha x + beta y принадлежит L. Используя его, достаточно проверить выполнение двух условий: замкнутость по сложению и замкнутость по умножению на число.

$\forall x, y \in L, \, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \implies \alpha x + \beta y \in L$

Разбор по случаям

Примеры

Множество решений однородной системы. Докажем, что множество $L$ решений системы $A x = 0$ образует подпространство. Возьмем векторы $x, y \in L$ и скаляры $\alpha, \beta$.

Проверим условие: $A(\alpha x + \beta y) = \alpha (A x) + \beta (A y) = \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 = 0$.

Следовательно, вектор $\alpha x + \beta y$ принадлежит $L$. Применяя данное утверждение, получаем, что $L$ — подпространство.

Множество непрерывных функций. Рассмотрим множество $L$ всех непрерывных функций на отрезке $[a, b]$.

Пусть $f, g \in L$ и $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.

Из математического анализа известно, что сумма непрерывных функций и произведение функции на число непрерывны. Поэтому линейная комбинация $\alpha f + \beta g$ непрерывна и принадлежит $L$. Согласно сформулированному условию, множество $L$ является векторным подпространством.

Множество многочленов с фиксированным корнем. Рассмотрим подмножество $U$ пространства многочленов $\mathbb{R}_2[x]$, состоящее из элементов, удовлетворяющих условию $p(3) = 0$. Проверим выполнимость критерия подпространства. Нулевой многочлен входит в $U$, так как $0(3) = 0$. Пусть многочлены $p, q \in U$, что означает $p(3) = 0$ и $q(3) = 0$.

Тогда для суммы получаем $(p + q)(3) = p(3) + q(3) = 0 + 0 = 0$, то есть $p + q \in U$.

Для любого скаляра $c \in \mathbb{R}$ имеем $(c \cdot p)(3) = c \cdot p(3) = c \cdot 0 = 0$, откуда $c \cdot p \in U$.

Все условия критерия выполнены, следовательно, $U$ является подпространством.

Частые ошибки

• Забывают проверить, содержит ли исследуемое подмножество нулевой вектор.
• Пытаются применить критерий к неоднородным системам уравнений, где нулевой вектор не является решением.
• Проверяют замкнутость только для сложения векторов, игнорируя умножение на произвольный скаляр.

Коротко

Таким образом, этот признак позволяет свернуть скрупулезную аксиоматическую проверку до проверки замкнутости множества относительно двух базовых операций. Научившись применять критерий подпространства, вы сможете легко находить базисы и размерности подпространств в алгебре.