При x, стремящемся к нулю, косинус стремится к единице

Утверждение абсолютно верно, так как тригонометрическая функция косинуса непрерывна на всей числовой прямой, включая точку ноль. По определению непрерывности предел функции в точке равен её значению в этой же точке. Поскольку косинус нуля равен единице, то предел косинуса при x стремящемся к нулю равен единице. Таким образом, при x, стремящемся к нулю, косинус стремится к единице. Данное свойство базовое и постоянно используется при вычислении математических пределов и раскрытии неопределенностей.

$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$

Разбор по случаям

Примеры

Предел выражения с косинусом. Найдем предел дроби $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$.

Непосредственная подстановка $x = 0$ даёт неопределенность ноль на ноль.

Воспользуемся формулой понижения степени $1 - \cos x = 2 \sin^2(x/2)$.

Перепишем предел: $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2(x/2)}{x^2}$.

Применив первый замечательный предел для синуса, получим $2 \cdot (1/2)^2 = 1/2$. В процессе вычисления важно помнить, что предел косинуса при x стремящемся к нулю равен единице.

Предел произведения функций. Вычислим значение предела произведения $\lim_{x \to 0} \left(\cos x \cdot \frac{\sin x}{x}\right)$.

По теореме о пределе произведения раскладываем его на два отдельных множителя: $\lim_{x \to 0} \cos x \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.

Учитывая, что предел косинуса при x стремящемся к нулю равен единице, а второй сомножитель равен единице по первому замечательному пределу, окончательно получаем $1 \cdot 1 = 1$.

Частые ошибки

• Путаница между пределами косинуса и синуса при аргументе, стремящемся к нулю, приводящая к ошибочной замене косинуса нулем.
• Ошибочное применение первого замечательного предела к косинусу вместо синуса или тангенса.
• Игнорирование непрерывности функции косинуса и попытка искать неопределенность там, где возможна прямая подстановка.

Коротко

В исследовании поведения функций важную роль играет факт, что при x, стремящемся к нулю, косинус стремится к единице. Это базовое свойство непрерывности позволяет легко находить пределы сложнейших тригонометрических выражений.