Как находить промежутки возрастания и убывания функции

Чтобы понять, как находить промежутки возрастания и убывания функции, нужно применить производную. Сначала найдите область определения функции и вычислите её производную $f'(x)$. Затем найдите критические точки, приравнивая производную к нулю и определяя места, где она не существует. Разбейте область определения этими точками на интервалы и определите знак производной на каждом из них методом интервалов. На интервалах со знаком плюс функция возрастает, а со знаком минус — убывает.

$f'(x) > 0 \implies f(x) \uparrow, \quad f'(x) < 0 \implies f(x) \downarrow$

Разбор по случаям

Примеры

Многочлен третьей степени. Найдем промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 - 3x$. Находим производную: $f'(x) = 3x^2 - 3$. Приравниваем к нулю: $3x^2 - 3 = 0$, откуда $x = \pm 1$. Наносим точки $-1$ и $1$ на числовую прямую. На интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$ производная положительна, функция возрастает. На интервале $(-1; 1)$ производная отрицательна, функция убывает. Ответ: возрастает на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$, убывает на $[-1; 1]$.

Дробно-рациональная функция. Определим промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \frac{x}{x - 2}$. Область определения: $x \neq 2$.

Находим производную: $f'(x) = \frac{1 \cdot (x - 2) - x \cdot 1}{(x - 2)^2} = \frac{-2}{(x - 2)^2}$.

Производная отрицательна при всех допустимых $x$, так как числитель $-2 < 0$, а знаменатель всегда положителен. Следовательно, функция убывает на всей области определения. Ответ: убывает на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Функция с натуральным логарифмом. Исследуем на монотонность и найдем промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = x - \ln x$. Сначала укажем область определения: аргумент логарифма должен быть строгим положительным числом, поэтому $x \in (0; +\infty)$.

Вычисляем первую производную: $f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$.

Найдем критические точки. Приравниваем производную к нулю: \frac{x - 1}{x} = 0$$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, откуда x = 1$. Точка$x = 1$делит область определения на два промежутка:$(0; 1)$и$(1; +\infty)$$. Определяем знак производной. На интервале (0; 1)$при$x = 0,5$получаем$f'(0,5) = -1 < 0$, следовательно, функция убывает на полуинтервале$(0; 1]$.

На интервале $(1;$+\infty) при $x = 2$ получаем $f'(2) = 0,5 > 0$, поэтому функция возрастает на луче $[1; $+\infty).

Частые ошибки

• Забывают учесть область определения функции при разбиении числовой прямой на интервалы.
• Объединяют интервалы возрастания или убывания знаком объединения множеств вместо их раздельной записи через запятую.
• Путают знаки производной и ошибочно считают, что функция возрастает там, где производная отрицательна.

Коротко

Поиск интервалов монотонности опирается на вычисление производной, поиск критических точек и проверку знаков на полученных промежутках. Теперь вы четко знаете, как находить промежутки возрастания и убывания функции для успешного решения заданий.