Как найти наименьшее значение функции

Чтобы понять, как найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно сначала найти её производную и приравнять её к нулю. Полученные критические точки проверяют на принадлежность данному отрезку. Затем вычисляют значения исходной функции в найденных критических точках и на концах отрезка. Из полученных чисел выбирают самое маленькое. Если задан открытый интервал, наименьшее значение функции определяют через исследование знаков производной и поиск локального минимума.

$f'(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

На отрезке. Найдем минимум функции $f(x) = x^3 - 3x$ на отрезке $[0, 2]$. Находим производную $f'(x) = 3x^2 - 3$. Приравниваем к нулю: $3x^2 - 3 = 0$, откуда $x = 1$ и $x = -1$. Точка $x = 1$ принадлежит отрезку $[0, 2]$.

Вычисляем значения функции: $f(0) = 0$, $f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = -2$, $f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 = 2$.

Сравниваем все полученные числа и записываем итоговый ответ: наименьшее значение функции равно $-2$ в точке $x = 1$.

Квадратичная функция. Найдем минимум функции $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ на всей числовой прямой. Графиком служит парабола с ветвями вверх, так как коэффициент $a = 2 > 0$. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Вычисляем абсциссу вершины по формуле $x_v = -b / (2a) = 8 / 4 = 2$.

Подставляем найденное значение $x = 2$ в исходное математическое выражение: $f(2) = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$.

Искомое наименьшее значение функции равно $-3$.

Частые ошибки

• Подстановка стационарных точек в формулу производной вместо первоначальной функции.
• Забытая проверка попадания найденных стационарных точек в заданный отрезком промежуток.
• Потеря знака при вычислении стационарных точек или нахождении производной сложного выражения.

Коротко

Главный принцип того, как найти наименьшее значение функции, заключается в исследовании ее поведения с помощью производной на заданном отрезке. Важно правильно вычислить критические точки, проверить их вхождение в область поиска и сравнить все полученные результаты.