Как найти экстремумы функции

Чтобы понять, как найти экстремумы функции, сначала определяют область её существования. Затем вычисляют первую производную $f'(x)$ и приравнивают её к нулю. Полученные критические точки разбивают область определения на промежутки. На каждом интервале проверяют знак производной. Переход с плюса на минус указывает на максимум, а с минуса на плюс — на минимум. В конце рассчитывают значения функции в этих точках, позволяя успешно найти экстремумы функции.

$f'(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Метод интервалов для первой производной. Найдем экстремумы функции $f(x) = x^3 - 3x$. Для этого вычислим производную $f'(x) = 3x^2 - 3$. Приравняем ее к нулю: $3x^2 - 3 = 0$, откуда критические точки равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. На интервале $(-\infty; -1)$ производная положительна, на $(-1; 1)$ отрицательна, а на $(1; +\infty)$ снова положительна. Значит, $x = -1$ является точкой максимума с значением $f(-1) = 2$, а $x = 1$ — точкой минимума с значением $f(1) = -2$.

Проверка с помощью второй производной. Найдем экстремумы функции $f(x) = 2x^3 - 6x^2$. Первая производная равна $f'(x) = 6x^2 - 12x$. Из уравнения $6x(x - 2) = 0$ находим стационарные точки $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Найдем вторую производную: $f''(x) = 12x - 12$. Подставляем точки: $f''(0) = -12 < 0$, следовательно $x = 0$ — точка максимума с $f(0) = 0$. Для второй точки $f''(2) = 12 > 0$, поэтому $x = 2$ — точка минимума с $f(2) = -8$.

Исследование с помощью высших производных. Исследуем функцию $f(x) = x^4 - 4x^3$ на экстремумы с помощью высших производных. Сначала находим первую производную функции: $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$. Приравниваем ее к нулю и раскладываем на множители: $4x^2(x - 3) = 0$. Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Для проверки точек находим вторую производную: $f''(x) = 12x^2 - 24x$. Подставляем значение $x_2 = 3$: $f''(3) = 36 > 0$, следовательно, точка $x_2 = 3$ является точкой строгого локального минимума со значением $f(3) = -27$. Проверяем точку $x_1 = 0$: $f''(0) = 0$, поэтому метод второй производной не дает ответа. Находим третью производную: $f'''(x) = 24x - 24$. Вычисляем значение $f'''(0) = -24 \neq 0$. Порядок первой ненулевой производной нечетный ($n = 3$), поэтому в точке $x_1 = 0$ экстремума нет.

Частые ошибки

• Забывают учитывать область определения функции перед поиском критических точек.
• Путают точки экстремума по оси абсцисс со значениями экстремумов по оси ординат.
• Считают любую стационарную точку экстремумом без проверки изменения знака производной.

Коротко

Данный разбор подробно объясняет, как найти экстремумы функции с помощью первой и второй производной. Строгое следование алгоритму позволяет быстро исследовать график и точно найти экстремумы функции.