Как найти ординату пересечения графиков линейных функций

Как найти ординату пересечения графиков линейных функций — приравнять правые части уравнений $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$, получив равенство $k_1 x + b_1 = k_2 x + b_2$. Из него находят общую абсциссу $x_0$ — точку, где обе прямые встречаются по горизонтали. Ординату $y_0$ получают подстановкой найденного $x_0$ в любое из двух исходных уравнений: оба должны дать одинаковый результат, и это служит проверкой правильности всех вычислений.

Разбор по случаям

Примеры

Коэффициенты разных знаков. Даны функции $y = -3x + 10$ и $y = x - 2$. Приравниваем правые части, потому что в точке пересечения оба значения y совпадают: $-3x + 10 = x - 2$. Переносим слагаемые в одну сторону: $12 = 4x$, откуда $x_0 = 3$. Подставляем найденный $x_0$ во второе уравнение: $y_0 = 3 - 2 = 1$. Проверка по первому уравнению даёт тот же результат: $y_0 = -3 \cdot 3 + 10 = 1$, значит точка пересечения найдена верно, а её ордината равна $1$. Графически это означает, что прямые пересекаются немного правее начала координат.

Положительные коэффициенты. Даны функции $y = 2x + 1$ и $y = -x + 7$. Оба уравнения уже разрешены относительно y, поэтому сразу приравниваем правые части: $2x + 1 = -x + 7$, откуда $3x = 6$ и $x_0 = 2$. Подставляем найденное значение в первое уравнение: $y_0 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Проверка по второму уравнению: $y_0 = -2 + 7 = 5$ — результат совпал, значит вычисления верны и ордината точки пересечения равна $5$. Обе прямые растут и убывают навстречу друг другу, поэтому пересечение единственное.

Частые ошибки

• Находят абсциссу x0 и останавливаются, забыв подставить её обратно и найти саму ординату.
• Подставляют x0 только в одно уравнение и не проверяют результат по второму уравнению.
• При переносе слагаемых через знак равенства теряют минус у одного из коэффициентов.

Коротко

Как найти ординату пересечения графиков линейных функций — приравнять уравнения, найти общий x, а затем подставить его в любое из уравнений и получить y. Совпадение результата по обоим уравнениям подтверждает, что точка пересечения найдена верно.