Как найти производную функции по графику

Как найти производную функции по графику: к графику в нужной точке проводят касательную и находят её угловой коэффициент по двум точкам этой прямой. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в этой точке. Например, если касательная проходит через точки (1, 2) и (3, 4), угловой коэффициент равен 1, значит производная в этой точке тоже равна 1. Если касательная горизонтальна, производная равна нулю.

$f'(x_0) = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Разбор по случаям

Примеры

Касательная по двум точкам. Касательная к графику функции в точке $x_0$ проходит через две отмеченные на чертеже точки: $(1;\, 2)$ и $(3;\, 4)$.

Угловой коэффициент касательной находят как отношение разности игреков к разности иксов: $k = \dfrac{4 - 2}{3 - 1} = \dfrac{2}{2} = 1$.

Значение производной функции в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной: $f'(x_0) = 1$. Такой способ работает всегда, когда на рисунке видна сама касательная прямая, а не только график функции.

Горизонтальная касательная. В точке $x_0$ график функции имеет вершину, и касательная к нему в этой точке горизонтальна, то есть параллельна оси Ox. Угол наклона такой касательной равен нулю градусов, поэтому её угловой коэффициент тоже равен нулю: $f'(x_0) = 0$. Это признак точки экстремума функции — максимума или минимума, где производная меняет знак с плюса на минус или наоборот.

Частые ошибки

• Путают график самой функции с графиком её производной и снимают числа не с той кривой на рисунке.
• Забывают, что производная функции по графику равна нулю в точке экстремума, а не наоборот, что функция там не определена.
• Берут для расчёта угла точки не на самой касательной, а на графике функции, искажая итоговый результат.

Коротко

Как найти производную функции по графику, сводится к проведению касательной в нужной точке и вычислению её углового коэффициента по двум точкам прямой. Знак производной определяют по направлению касательной: вверх — положительная, вниз — отрицательная, горизонтально — нулевая.