Как найти сумму корней уравнения

Как найти сумму корней уравнения — по теореме Виета, без вычисления самих корней и без дискриминанта. Для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$. Для уравнения общего вида $a x^2 + b x + c = 0$ формула другая: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, то есть минус отношение второго коэффициента к первому. Если в условии слагаемые стоят по разные стороны от знака равенства, уравнение сначала переносят в стандартный вид, а уже потом подставляют коэффициенты в формулу.

Разбор по случаям

Примеры

Приведённое уравнение. Дано уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$: коэффициенты равны $p = -7$ и $q = 10$, а старший коэффициент при $x^2$ равен единице, значит уравнение уже приведённое. По теореме Виета сумма корней находится сразу, без вычисления дискриминанта: $x_1 + x_2 = -p = 7$. Для проверки решим уравнение через дискриминант: $D = 49 - 40 = 9$, корень из него равен $3$, поэтому корни равны $x_1 = 5$ и $x_2 = 2$. Сложив оба корня напрямую, получаем $5 + 2 = 7$, что совпадает с ответом по теореме Виета.

Уравнение общего вида. В уравнении $2x^2 + 3x - 5 = 0$ коэффициенты равны $a = 2$, $b = 3$ и $c = -5$, а старший коэффициент не равен единице, поэтому применяется формула для общего вида, а не для приведённого уравнения.

Сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{2} = -1,5$.

Для проверки решаем через дискриминант: $D = 9 + 40 = 49$, $\sqrt{D} = 7$, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -2,5$. Их сумма $1 + (-2,5) = -1,5$ полностью совпадает с результатом по теореме Виета, значит вычисления верны.

Частые ошибки

• Знак у коэффициента p или b теряют и получают сумму корней с обратным знаком.
• Для уравнения общего вида забывают разделить коэффициент b на a и используют формулу приведённого уравнения.
• Сумму корней путают с их произведением и подставляют вместо -p или -b/a значение q или c/a.

Коротко

Как найти сумму корней уравнения — через теорему Виета: для приведённого уравнения это $-p$, для общего вида $-\frac{b}{a}$. Формула работает без вычисления самих корней, но сначала уравнение нужно записать в стандартном виде.