Как найти площадь под графиком

Как найти площадь под графиком — если участок ограничен прямой линией, фигуру считают как треугольник или трапецию по геометрическим формулам. Для произвольной функции точную площадь находят через определённый интеграл $S=\int_a^b f(x)\,dx$, где a и b — границы отрезка по оси x. Если часть графика лежит ниже оси абсцисс, интеграл на этом участке получается отрицательным, и от него берут модуль перед сложением площадей.

Разбор по случаям

Примеры

Треугольник. Дана функция $f(x)=x$ на отрезке от 0 до 4. Под графиком образуется прямоугольный треугольник с катетами $4$ и $f(4)=4$.

Площадь: $S=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot4=8$.

Такой результат также можно получить через интеграл: $S=\int_0^4 x\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4=\dfrac{16}{2}-0=8$.

Оба способа дают одинаковый ответ, потому что площадь треугольника — это частный случай определённого интеграла линейной функции. Единицы измерения площади здесь — квадратные, как и для любой плоской фигуры.

Парабола. Дана функция $f(x)=x^2$ на отрезке от 0 до 3.

Площадь под параболой находят через определённый интеграл: $S=\int_0^3 x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac{27}{3}-0=9$.

В отличие от линейной функции здесь нельзя просто перемножить катеты, потому что фигура ограничена кривой линией, а не отрезком прямой. Результат площади в девять квадратных единиц получается заметно больше, чем у треугольника с теми же границами по оси x.

Частые ошибки

• Забывают, что часть графика ниже оси x даёт отрицательный интеграл, а не отрицательную площадь.
• Путают площадь под графиком с длиной дуги кривой и складывают не те величины.
• Подставляют пределы интегрирования в обратном порядке и получают площадь со знаком минус.

Коротко

Как найти площадь под графиком — если фигура простая, треугольник или трапеция, площадь считают по геометрическим формулам, а для произвольной кривой берут определённый интеграл функции на нужном отрезке. Если график частично уходит ниже оси x, площадь каждого участка складывают по модулю.