Как найти производную сложной функции

Вопрос о том, как найти производную сложной функции, сводится к применению цепного правила дифференцирования. Сначала определяют внешнюю и внутреннюю зависимости. Затем берут производную от внешней части, сохраняя внутренний аргумент без изменений, и умножают полученный результат на производную внутренней части. Правильно вычисленная производная сложной функции требует строгого соблюдения порядка действий и аккуратного применения базовых табличных формул.

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Разбор по случаям

Примеры

Степенная конструкция. Найдем производную выражения $y = (3x^2 + 5)^4$. Внешняя функция — возведение в четвертую степень, а внутренняя — $u = 3x^2 + 5$. Находим производную внешней части: $4(3x^2 + 5)^3$. Затем считаем производную внутренней части: $u' = 6x$.

Умножаем результаты друг на друга и получаем итоговый ответ: $y' = 4(3x^2 + 5)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 5)^3$.

Тригонометрическое выражение. Найдем производную для $y = \sin(5x - 2)$. Внешней функцией выступает синус, а внутренней — линейное выражение $u = 5x - 2$. Берем производную внешней функции по аргументу $u$, получив $\cos(5x - 2)$. Далее находим производную внутренней части $u' = 5$. Перемножая их, получаем окончательное значение производной: $y' = 5\cos(5x - 2)$.

Показательное выражение. Найдем производную сложной показательной функции $f(x) = e^{3x^2 - 5x + 4}$ на множестве действительных чисел. Внешней функцией является экспонента $g(u) = e^u$, а внутренней функцией выступает квадратный трехчлен $u(x) = 3x^2 - 5x + 4$.

Дифференцируем внешнюю часть по аргументу $u$, получаем $(e^u)' = e^u = e^{3x^2 - 5x + 4}$.

Далее берем производную от многочлена во внутреннем блоке по переменной $x$: $u'(x) = (3x^2 - 5x + 4)' = 6x - 5$.

Согласно правилу дифференцирования сложной функции, перемножаем полученные выражения: $f'(x) = e^{3x^2 - 5x + 4} \cdot (6x - 5)$.

Итоговый результат принимает вид $f'(x) = (6x - 5) e^{3x^2 - 5x + 4}$.

Частые ошибки

• Забывают домножить результат на производную внутренней функции.
• Изменяют внутреннее выражение при дифференцировании внешней функции.
• Путают внешнюю и внутреннюю функции при сложном вложении.

Коротко

Понимание того, как найти производную сложной функции, помогает успешно решать задания по алгебре и математическому анализу. Главное — последовательно находить производные всех вложенных блоков и перемножать их между собой.