Как найти асимптоты графика функции

Как найти асимптоты графика функции — вертикальную и горизонтальную ищут по-разному. Вертикальная асимптота проходит там, где знаменатель дроби обращается в нуль, а сама точка не входит в область определения: $x = x_0$. Горизонтальную асимптоту находят через предел функции при x, стремящемся к бесконечности; для дробно-линейной функции это отношение старших коэффициентов числителя и знаменателя. Если степень числителя на единицу больше степени знаменателя, асимптота становится наклонной, и её уравнение находят делением многочленов уголком.

$x = a$

Разбор по случаям

Примеры

Сдвинутая гипербола. Дана функция $y = \frac{3}{x-2} + 1$. Знаменатель обращается в нуль при $x = 2$, эта точка не входит в область определения, значит вертикальная асимптота — $x = 2$. При очень больших по модулю x дробь $\frac{3}{x-2}$ стремится к нулю, поэтому функция приближается к значению $1$: горизонтальная асимптота — $y = 1$. График приближается к обеим прямым, но никогда их не пересекает.

Дробно-линейная функция. Дана функция $y = \frac{2x+1}{x-3}$. Знаменатель равен нулю при $x = 3$, значит вертикальная асимптота — $x = 3$. Разделив числитель на знаменатель уголком, получаем $y = 2 + \frac{7}{x-3}$, поэтому при x, стремящемся к бесконечности, дробь исчезает и остаётся $y = 2$ — горизонтальная асимптота. Тот же результат даёт отношение старших коэффициентов: $\frac{2}{1} = 2$. Обе прямые, $x = 3$ и $y = 2$, график не пересекает, а лишь приближается к ним всё ближе.

Частые ошибки

• Путают вертикальную асимптоту с горизонтальной и подставляют не то значение в ответ.
• Не проверяют, что точка x0, где знаменатель равен нулю, не сокращается вместе с числителем.
• Для дробно-линейной функции берут отношение свободных членов вместо отношения старших коэффициентов.

Коротко

Как найти асимптоты графика функции — вертикальную через нуль знаменателя, горизонтальную через предел функции на бесконечности, а при разнице степеней на единицу асимптота становится наклонной. Все три вида описывают поведение графика вблизи разрывов и вдали от начала координат.