Как найти точки экстремума функции

Чтобы понять, как найти точки экстремума функции, используют проверенный алгоритм дифференциального исчисления. Сначала необходимо определить область определения функции и вычислить ее первую производную. После этого производную приравнивают к нулю для поиска критических и стационарных точек. На следующем шаге исследуют знак производной на полученных интервалах непрерывности. Если производная меняет знак с плюса на минус, точка — максимум, а если с минуса на плюс — минимум.

$f'(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Полиномиальная функция. Найдем экстремумы заданной функции $f(x) = x^3 - 3x$. Сначала вычислим ее первую производную: $f'(x) = 3x^2 - 3$. Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 3 = 0$, откуда получаем стационарные точки $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. На интервале $(-\infty; -1)$ производная положительна, на $(-1; 1)$ отрицательна, а на $(1; +\infty)$ снова положительна. Таким образом, точка $x = -1$ является точкой максимума, а $x = 1$ — точкой минимума.

Дробно-рациональная функция. Исследуем на экстремумы дробную функцию $f(x) = x + \frac{1}{x}$. Ее первая производная имеет вид $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$. Приравняем ее к нулю: $1 - \frac{1}{x^2} = 0$, откуда находим критические точки $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. При переходе через $x = -1$ знак производной меняется с плюса на минус, поэтому $x = -1$ — точка максимума. При переходе через $x = 1$ знак меняется с минуса на плюс, значит, $x = 1$ — точка минимума.

Иррациональная функция. Найдем экстремумы иррациональной функции $f(x) = (x - 3)\sqrt{x}$. Область определения функции включает все неотрицательные числа: $x \ge 0$.

Перепишем выражение в виде степеней $f(x) = x^{1.5} - 3x^{0.5}$ и найдем первую производную: $f'(x) = 1.5x^{0.5} - 1.5x^{-0.5} = \frac{3(x - 1)}{2\sqrt{x}}$.

Приравняем ее к нулю для поиска стационарных точек: $3(x - 1) = 0$, откуда получаем $x = 1$. Проверим знак производной на полученных интервалах. На промежутке $(0; 1)$ производная $f'(x) < 0$, поэтому функция убывает. На промежутке $(1; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает. При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, точка $x = 1$ является точкой локального минимума. Значение в ней $f(1) = -2$.

Частые ошибки

• Путаница между точками экстремума и самими экстремумами функции.
• Забытая проверка вхождения критической точки в область определения.
• Пренебрежение анализом смены знака производной при прохождении точки.

Коротко

Данный алгоритм наглядно показывает, как найти точки экстремума функции с помощью первой производной. Достаточно найти критические значения и правильно определить знаки на интервалах.