Как найти точки минимума и максимума функции

Чтобы понять, как найти точки минимума и максимума функции, нужно выполнить четкий алгоритм. Сначала найдите область определения и вычислите первую производную. Затем приравняйте ее к нулю и найдите критические точки. Определите знаки производной на полученных интервалах методом интервалов. Если производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума, а если с минуса на плюс — точка минимума.

$f'(x) = 0$

Разбор по случаям

Примеры

Исследование многочлена. Найдем экстремумы функции $f(x) = x^3 - 3x$. Вычислим производную $f'(x) = 3x^2 - 3$. Приравняем ее к нулю: $3x^2 - 3 = 0$, откуда получаем критические точки $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. На промежутке $(-\infty; -1)$ производная положительна, на $(-1; 1)$ отрицательна, на $(1; +\infty)$ положительна. Следовательно, точка $x = -1$ является точкой максимума, а точка $x = 1$ — точкой минимума.

Дробно-рациональная функция. Исследуем функцию $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$.

Ее производная равна $f'(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}$.

Критические точки в области определения $x \neq 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. При переходе через $x = -1$ производная меняет знак с плюса на минус, поэтому $x = -1$ — точка максимума. При переходе через $x = 1$ знак меняется с минуса на плюс, значит $x = 1$ — точка минимума.

Логарифмическая функция. Найдем точки локального экстремума функции $f(x) = x \ln x$. Сначала зададим область допустимых значений: $x \in (0; +\infty)$.

Находим первую производную по правилу произведения: $f'(x) = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = \ln x + 1$.

Для поиска критических точек приравняем производную к нулю: $\ln x + 1 = 0$, откуда $\ln x = -1$, следовательно, $x = \frac{1}{e}$. Данная точка разбивает область определения на два интервала. При $x \in (0; \frac{1}{e})$ производная $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x \in (\frac{1}{e}; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс, $x = \frac{1}{e}$ — точка минимума.

Значение функции в этой точке равно $f(\frac{1}{e}) = -\frac{1}{e}$.

Частые ошибки

• Путаница между значением функции в точке и самой точкой экстремума.
• Игнорирование точек разрыва области определения при расстановке знаков производной.
• Забывание о том, что равенство производной нулю не гарантирует наличие экстремума.

Коротко

Изучив данный порядок действий, вы всегда будете знать, как найти точки минимума и максимума функции на любом отрезке или области определения. Анализ знаков первой производной является самым надежным способом поиска экстремумов.