Таблица распределения Стьюдента

Для чего нужна таблица распределения Стьюдента? Этот статистический инструмент применяется для определения критических точек t-статистики при малом объеме выборки. Она позволяет находить пороговые значения на основе двух параметров: уровня значимости $\alpha$ и числа степеней свободы k = n - 1. С помощью этих данных исследователи проверяют нулевые гипотезы о равенстве средних значений, оценивают статистическую значимость полученных результатов и строят доверительные интервалы.

$t = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$

Разбор по случаям

Примеры

Нахождение t-критерия по таблице. Дана выборка из $n = 15$ элементов. Необходимо найти критическое значение для двусторонней гипотезы при уровне значимости $\alpha = 0{,}05$. Сначала вычисляем число степеней свободы: $k = n - 1 = 14$. В таблице распределения Стьюдента находим пересечение строки $k = 14$ и столбца для двусторонней области $\alpha = 0{,}05$. Получаем критическое значение $t_{crit} = 2{,}145$.

Построение доверительного интервала. Для выборки $n = 10$ среднее значение $\bar{X} = 50$, а исправленное отклонение $S = 6$. Требуется найти доверительный интервал с надежностью $95\%$. Число степеней свободы $k = 10 - 1 = 9$, уровень $\alpha = 0{,}05$. По таблице $t_{crit} = 2{,}262$.

Ошибка выборки равна $2{,}262 \cdot \frac{6}{\sqrt{10}} \approx 4{,}29$.

Доверительный интервал составляет от $45{,}71$ до $54{,}29$.

Проверка гипотезы о равенстве среднего значению норматива. Дана выборка из $n = 16$ изготовленных деталей с выборочным средним $\bar{x} = 10.5$ см и исправленным выборочным стандартным отклонением $s = 0.8$ см. Требуется проверить нулевую гипотезу $H_0: \mu = 10$ при уровне значимости $\alpha = 0.05$ для двусторонней критической области.

Сначала рассчитывается наблюдаемое значение t-критерия: $t_{obs} = \frac{10.5 - 10}{0.8 / \sqrt{16}} = 2.5$.

Затем вычисляется число степеней свободы $k = 16 - 1 = 15$. Из таблицы распределения Стьюдента находится критическая точка $t_{crit} = 2.131$. Поскольку абсолютная величина $2.5$ превосходит табличное значение $2.131$, нулевая гипотеза отклоняется. Средний размер деталей статистически значимо отличается от установленного норматива.

Частые ошибки

• Путаница между односторонним и двусторонним уровнями значимости при поиске столбца в таблице.
• Использование общего размера выборки n вместо числа степеней свободы k = n - 1.
• Применение таблицы распределения Стьюдента при известном генеральном стандартном отклонении вместо z-распределения.

Коротко

Теперь вы знаете, для чего нужна таблица распределения Стьюдента и как правильно находить по ней критические значения. Качественно составленный справочник помогает безошибочно оценивать гипотезы и строить точные доверительные интервалы.