Сначала упрощаем каждый из первых двух множителей до квадрата двучлена, третий множитель — до квадрата суммы, а затем видим, что всё произведение — это квадрат разности квадратов.

Задание учебника, раздел «Применение формул сокращённого умножения». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Упрощаем первые два множителя

a(a+2b)+b^2=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2, \quad a(a-2b)+b^2=(a-b)^2

Упрощаем третий множитель

(a^2-b^2)^2+4a^2b^2=a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2=a^4+2a^2b^2+b^4=(a^2+b^2)^2

Перемножаем первые два множителя

(a+b)^2(a-b)^2=((a+b)(a-b))^2=(a^2-b^2)^2

Перемножаем результат с третьим множителем

(a^2-b^2)^2(a^2+b^2)^2=((a^2-b^2)(a^2+b^2))^2=(a^4-b^4)^2

Раскрываем итоговый квадрат

(a^4-b^4)^2=a^8-2a^4b^4+b^8

Каскад свёртывания: (a плюс b) в квадрате умножить (a минус b) в квадрате переходит в (a в квадрате минус b в квадрате) в квадрате, затем в (a в четвёртой минус b в четвёртой) в квадрате, и раскрывается в a в восьмой минус 2a в четвёртой b в четвёртой плюс b в восьмой — Каскад последовательного свёртывания квадратов

Почему так

Проверка при $a=1,b=1$ : первый множитель $(1+1)^2=4$ , второй $(1-1)^2=0$ , значит всё произведение равно $0$ ; по формуле $a^8-2a^4b^4+b^8=1-2+1=0$ — совпадает.

Где здесь ошибаются

Главная ошибка — не заметить, что произведение трёх множителей последовательно сворачивается по формуле разности квадратов, и пытаться раскрывать всё почленно, что крайне громоздко для многочлена восьмой степени.

Вторая ошибка — перепутать знак в третьем множителе и получить $(a^2-b^2)^2$ вместо $(a^2+b^2)^2$ , забыв, что $+4a^2b^2$ меняет знак среднего слагаемого.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 1000 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев