Заметим, что и 111111, и 222 делятся на 111 — вынесем этот множитель, а затем разложим оба сомножителя на простые, чтобы увидеть полный квадрат.

Задание учебника, раздел «Применение формул сокращённого умножения». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Выносим общий множитель 111

111111-222 = 111\cdot1001-111\cdot2 = 111\cdot(1001-2)=111\cdot999

Раскладываем оба множителя

111=3\cdot37,\qquad 999=27\cdot37=3^3\cdot37

Собираем произведение

111\cdot999 = 3\cdot37\cdot3^3\cdot37 = 3^4\cdot37^2 = (3^2\cdot37)^2=333^2

Проверяем прямым умножением

333^2 = 333\cdot333 = 110889 = 111111-222

Квадрат со стороной 333: его площадь равна 110889, что совпадает со значением разности 111111 минус 222 — Квадрат числа 333

Почему так

Прямое вычитание подтверждает: $111111-222=110889$ , а $333\cdot333=110889$ — числа совпадают, значит это квадрат числа 333.

Где здесь ошибаются

Частая ошибка — попытаться подобрать квадратный корень перебором вместо разложения на множители, что легко приводит к ошибке на больших числах.

Вторая ошибка — неверно разложить 999 как $9\cdot111$ вместо $27\cdot37$ , из-за чего степени тройки и 37 не совпадут.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 1008 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев