Раскрываем скобки в каждом выражении и приводим подобные — если получившийся многочлен раскладывается с множителем 5, делимость есть для любого n, иначе нет.

Задание учебника, раздел «Применение формул сокращённого умножения». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Раскрываем а)

(2n+3)(3n-7)-(n+1)(n-1) = (6n^2-5n-21)-(n^2-1) = 5n^2-5n-20

Выносим множитель 5 в а)

5n^2-5n-20 = 5(n^2-n-4)

выражение в скобке — целое число при любом целом n, значит всё выражение делится на 5

Раскрываем б)

(7n+8)(n-1)+(3n-2)(n+2) = (7n^2+n-8)+(3n^2+4n-4) = 10n^2+5n-12

Проверяем делимость б)

10n^2+5n-12 = 5(2n^2+n-3)+3

остаток $3$ не делится на 5 ни при каком целом n — выражение не делится на 5

Сравнение: 5n в квадрате минус 5n минус 20 равно 5(n в квадрате минус n минус 4) — делится на 5 без остатка; 10n в квадрате плюс 5n минус 12 равно 5(2n в квадрате плюс n минус 3) плюс 3 — остаток 3, не делится — Делится без остатка и с остатком

Почему так

Проверка б) при $n=0$ : значение $-12$ , не делится на 5; при $n=1$ : значение $3$ , тоже не делится — подтверждает вывод.

Где здесь ошибаются

Частая ошибка — ошибиться в раскрытии скобок при перемножении двучленов и получить неверный многочлен.

Вторая ошибка в б) — решить, что раз два первых слагаемых делятся на 5, то и всё выражение делится, не обратив внимания на остаток от $-12$ .

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 1023 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев