Чтобы определить число решений, не обязательно решать систему до конца — достаточно проверить, во сколько раз коэффициенты второго уравнения отличаются от первого, и сравнить с отношением свободных членов.

Задание учебника, раздел «Системы линейных уравнений: способы решения». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Сравниваем коэффициенты в системе а)

2x-y=1 \ \big| \cdot(-3) \Rightarrow -6x+3y=-3

Сопоставляем со вторым уравнением а)

-6x+3y=-3 \ \text{и} \ -6x+3y=2 \ \Rightarrow \ -3\ne 2 \ \Rightarrow \ \text{решений нет}

Сравниваем коэффициенты в системе б)

-5x+2y=7 \ \big| \cdot(-3) \Rightarrow 15x-6y=-21

Сопоставляем со вторым уравнением б)

15x-6y=-21 \ \text{совпадает со вторым уравнением} \ \Rightarrow \ \text{решений бесконечно много}

Слева параллельные прямые системы а) без общих точек — решений нет; справа совпадающие прямые системы б) — общих точек бесконечно много — Два случая: параллельны или совпали

Почему так

Проверка системы а) другим способом: левые части уравнений пропорциональны с коэффициентом $-3$ ( $2\cdot(-3)=-6$ , $-1\cdot(-3)=3$ ), а правые части — нет ( $1\cdot(-3)=-3\ne2$ ), значит прямые параллельны и не пересекаются.

Где здесь ошибаются

Главная ошибка — спутать случай «решений нет» со случаем «решений бесконечно много», не проверив отдельно пропорциональность свободных членов.

Вторая ошибка — пытаться найти конкретные числа $x$ и $y$ там, где система заведомо не имеет решения, и после долгих преобразований не сделать из противоречивого равенства верный вывод.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 1096 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев