Чтобы доказать, что все значения функции отрицательны, преобразуем квадратный трёхчлен в вид с полным квадратом — тогда знак выражения виден сразу.

Задание учебника, раздел «Линейные неравенства с двумя переменными». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Выносим минус и группируем

y=-x^2-6x-11 = -(x^2+6x)-11

Дополняем до полного квадрата

x^2+6x = (x+3)^2 - 9

Подставляем обратно

y=-\left((x+3)^2-9\right)-11 = -(x+3)^2+9-11 = -(x+3)^2-2

Оцениваем знак

Так как $(x+3)^2 \ge 0$ при любом $x$ , то $-(x+3)^2 \le 0$ , значит $y \le -2 < 0$ при всех $x$ .

График функции y=−(x+3)²−2 с вершиной в точке (−3;−2), весь график расположен ниже оси x — Вершина параболы в точке (−3;−2)

Почему так

Наибольшее значение функция принимает при $x=-3$ : $y=-2$ — это и есть верхняя граница графика, и она уже отрицательна, значит весь график лежит ниже оси $x$ .

Где здесь ошибаются

Ошибка — забыть знак минус перед скобкой при выделении полного квадрата и получить возрастающую вверх параболу вместо направленной вниз.

Вторая ошибка — посчитать вершину параболы как точку с положительной $y$ , не доведя преобразование до конца.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 1127 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев