Сравним коэффициенты при $x$ и при $y$ в обоих уравнениях: если они пропорциональны, прямые параллельны, и система не имеет решений, если только свободные члены не дают ту же пропорцию.

Задание учебника, раздел «Системы уравнений: число решений и параметры». Условие приведено выше дословно, всё остальное на странице — наш разбор.

Решение

Сравниваем коэффициенты при x и y

\dfrac{1/2}{5}=\dfrac{1}{10}, \quad \dfrac{1/5}{2}=\dfrac{1}{10}

Находим, при каком c пропорция сохраняется (прямые совпадают)

\dfrac{2}{c}=\dfrac{1}{10} \Rightarrow c=20

Делаем вывод

При $c=20$ прямые совпадают (бесконечно много решений); при любом другом $c$ прямые параллельны, но не совпадают — решений нет

Прямая ½x+⅕y=2 при c=20 совпадает с прямой 5x+2y=c; при любом другом c та же прямая лишь сдвигается параллельно и общих точек с первой не имеет — При c=20 — совпадают, иначе — параллельны

Почему так

Проверка при $c=20$ : второе уравнение $5x+2y=20$ получается из первого умножением на $10$ : $10\cdot(\tfrac12x+\tfrac15y)=5x+2y$ и $10\cdot2=20$ — прямые совпадают. Именно это значение и исключается из ответа.

Где здесь ошибаются

Ошибка — забыть исключить $c=20$ из ответа и написать «при любом $c$ », хотя при этом значении решений бесконечно много, а не ноль.

Вторая — сравнить коэффициенты неверно, не приведя дроби к общему знаменателю.

Как проверить себя

Закройте разбор и решите задание заново на черновике: место, где застряли во второй раз, и есть непонятое правило. Свой шаг можно прислать в помощник — он объяснит именно этот переход.

Другое задание учебника разберём так же: назовите номер или пришлите фотографию страницы. Все разборы — на странице учебника.

Номер 1167 — ГДЗ по алгебре 7 класс, Макарычев